КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ

1. Векторное поле ,

где .

Символы Кристоффеля:

, ,

,

,

.

– абсолютный дифференциал векторного поля , .

,

– -тая ковариантная производная поля , .

,

– ковариантная производная поля вдоль поля .

Замечание. Если криволинейные координаты аффинные, т.е. , , , то .

Свойства ковариантного дифференцирования:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

где – дифференцируемая на функция; .

2. Поле .

, .

Полагаем .

Ковариантная производная определяется из равенства

,

откуда .

Для , . .

3. Абсолютный дифференциал и ковариантная производная :

.

.

4. Лемма Риччи:

, .

5. – параллельно переносится вдоль кривой , если вдоль нее , т.е.

, .

6. Связь внешнего дифференциала и ковариантной производной , .

Пример.

.