6. Полиномиальное распределение.

M(n; p) с параметрами n и p, где n – натуральное число и p = (p₁, … , p_N), 0 < p_i < 1, i = 1, … , N, p₁+ … + p_N = 1, - это распределение случайного вектора (ню) с целочисленными компонентами, удоволетворяющими условию , которое задается вероятностями

(15)

где x = (x₁, … , x_N) – произвольный вектор с целыми неотрицательными компонентами, причем x₁ + … + x_N = n.

Название "полиномиальное распределение" связано с тем, что вероятность (15) представляет собой общий член в разложении полинома (p₁ + … + p₁)ⁿ по степеням p₁, … , p_N:

Здесь

(16)

Такое распределение возникает в схеме полиномиальных испытаний, т.е. независимых испытаний с N возможными исходами, вероятности которых не меняются от испытания к испытанию и равны p₁, … , p_N соответственно: если произведено n испытаний и - число реализаций в них i-го исхода, i = 1, … , N, то L() = МП(n; p). Если N = 2 (схема с двумя исходами), то мы имеем схему Бернулли (см. п. 1), для которой L() = Bi(n, p_i); с другой стороны, так как = n - и p₂ = 1 - p₁, то двумерный вектор (, n - ) имеет полиномиальное распределение M(n; p₁, 1 - p₁), эквивалентное, следовательно, биномиальному распределению Bi(n; p₁).

Отметим еще, что часто вместо термина "полиномиальное" используется его синоним "мультиномиальное".

В приложениях обычно вектор вероятностей p = (p₁, … , p_N) неизвестен – в этом случае мы имеем полиномиальную статистическую модель с параметрическим множеством .

Пример 3. (обобщение примера 1 Введения). Имеется урна с шарами N различных цветов, которые мы условно обозначим A₁, … , A_N. Пусть a_j – число шаров цвета A_j, j = 1, … , N, и а = a₁ + … + a_N - общее число шаров в урне. Рассмотрим следующий эксперимент: из урны по схеме выбора с возвращением наугад (т.е. равновероятно) извлекается n шаров (т.е. каждый раз любой шар может быть извлечен с одинаковой вероятностью 1/а и независимо от результатов предыдущих извлечений). Обозначим число наблюдавшихся A_j-шаров, j = 1, … , N. Тогда вектор будет иметь полиномиальное распределение М(n; p) с параметром , т.е. вектором долей цветов A₁, … , A_N. Если этот вектор нам не известен, то подходящей оценкой для него будет вектор относительных наблюдавшихся частот , так как в силу (16) (в среднем оценка совпадает со значением параметра p). В последующем мы дадим строгое обоснование такого правила оценивания.