7. Многомерное распределение Маркова-Пойа.

Вновь обратимся к ситуации, описанной в примере 3, и рассмотрим теперь такой эксперимент: последовательно в каждый момент времени n = 1, 2, … из урны наугад извлекается один шар, фиксируется его цвет, и шар возвращается обратно в урну с добавлением новых шаров того же цвета, что и извлеченный шар (тем самым состав урны каждый раз увеличивается на с шаров, если с < 0; при с = 0 он остается неизменным, т.е.

(17)

где x = (x₁, … , x_N) – произвольный вектор с целыми неотрицательными координатами, причем x₁ + … + x_N = n; множество всех таких векторов будем обозначать K_Nn. Это распределение называется многомерным (N-мерным) распределением Маркова-Пойа с параметрами n, a и с и обозначается символом МП(n; a, с), где a = (a₁, … , a_N) - вектор первоначального состава урны.

Формула (17) является многомерным (N-мерным) случаем формулы (12) и сводится к ней при N = 2. Если с ≠ 0, то разделив числитель и знаменатель в (17) на c и используя, как и в п.5, биномиальные коэффициенты, этой формуле можно придать еще 2 формы – аналоги форм (13):

(18)

Отметим два важных частных случая этих соотношений. Если в формуле (1.17) положить с = 0, то мы придем к (1.15) с p = , т.е. распределение Маркова-Пойа МП(n; a, с) сводится к полиномиальному распределению М(n; ).

(19)

которое является многомерным (N-мерным) аналогом гипергеометрического распределения (10) и сводится к нему при N = 2. Поэтому распределение, задаваемое вероятностями (19), называется многомерным (N-мерным) гипергеометрическим распределением с параметрами a и n. Оно обозначается символически L() = H(a, n) и характеризует собой схему случайной выборки без возвращения объема n ≤ a из конечной совокупности, состоящей из а = a₁ + … + a_N элементов, разбитых по некоторому признаку на N непересекающихся классов размерами соответственно a₁, … , a_N (в данном случае интерпретируется как число наблюдавшихся в выборке элементов j-го класса, j = 1, … , N).

Наконец, если в первом представлении (18) все a_j положить равными с, то биномиальные коэффициенты в числителе станут равными 1, и мы придем к формуле

,

задающей равномерное распределение на множестве K_Nn = {x = (x₁, … , x_N): x_i = 0, 1, 2, … , i = 1, … , N; x₁ + … + x_N = n}: число элементов (векторов x) этого множества равно – числу решений уравнения x₁ + … + x_N = n в целых неотрицательных числах, и всем им приписывается одинаковая вероятность.

Таким образом, многомерное распределение Маркова-Пойа включает в себя в качестве частных случаев полиномиальное распределение и многомерное гипергеометрическое распределение.

Если L() = МП(n; a, с), то первые и вторые моменты случайного вектора имеют вид

и (20)