Распределение Фишера

Данное распределение аналогично распределениям % и (-Стьюдента нашло применение при построении интервальных оценок и статистических критериев.

Отношение двух выборочных дисперсий, вычисленных по двум выборкам объемами щ и п2 и извлеченных из одной и той же нормальной генеральной совокупности, имеет F-распределение Фишера С П] и щ числом степеней свободы F (Пц п2) .

ҐЩ + п2 л

WF(x-,a,X,nx,n 2) = -

П\ +п2

(l + z)              2

П2

2

х-г

¦ п2 =1, 2, 3....

2

где хе(а, оо), |а| lt; оо, ).gt;0, и,

Функция распределения, т\ и а4 для распределения Фишера приведены соответственно в [7, с. 175] и в [8, с. 214, 215].

3. УПОРЯДОЧЕНИЕ МОДЕЛЕЙ.

МЕТОД ПЛОСКОСТИ МОМЕНТОВ

При решении прикладных статистических задач перспективным является описание исследуемого явления на модельном уровне (параметрическое описание), что требует развитых средств выбора модели из некоторым образом сформированного набора моделей.

Часто на основе априорных сведений выбрать модель не удается. В настоящее время существует ряд методов, позволяющих решить эту задачу с использованием результатов статистического наблюдения. Поскольку существует большое разнообразие моделей, то актуальным становится вопрос формирования набора моделей, из которых впоследствии будет осуществлен выбор адекватной модели. Здесь возможны два подхода:

• формирование произвольного набора моделей, например с ориентацией на прикладную область;
• формирование набора моделей по некоторому принципу (полноты, наименьшей избыточности и др.).

Выбор модели из набора можно осуществлять простым перебором моделей с последующим оцениванием параметров модели (см. п. 2.4), проверкой гипотез о согласии модели и эмпирического распределения (см.

Другой метод выбора строится на основе предварительного упорядочения моделей по некоторым характеристикам. Рассмотрим метод упорядочения, в основе которого лежат характеристики

Р( и р2 распределения случайной величины. Метод получил название метода плоскости моментов [9].

л

Плоскость моментов - это плоскость в координатах р( и р2. Обнаружено, что все модели распределений случайных величин, имеющие теоретические характеристики р2 и р2, могут занимать на плоскости моментов либо точку (модели, не имеющие параметров формы), либо кривую (модели с одним параметром формы), либо область (модели с двумя и более параметрами формы). По-

скольку характеристики р( и р2 - случайные величины, то зона

притяжения каждой модели определяется не только значениями Pj и р2, но и дисперсией этих характеристик. Более глубоко этот вопрос рассмотрен в работах [9, 10]. На рис. 15 приведена плоскость

Рис.15. Плоскость моментов

моментов с расположенными на ней моделями нормального, равномерного и экспоненциального распределений.

Область недопустимых значений р2 и р2 (критическая область) ограничивается соотношением

P2gt;P2+1.

Последовательность выбора модели по плоскости моментов

состоит из следующих шагов:

• расположение на плоскости моментов моделей распределений в соответствии с их значениями pf и р2;
• построение зоны притяжения модели (доверительных интервалов для р2 и р2);

' у              ¦—¦

• вычисление оценок Р! и Р2 по выборке из генеральной со-

— у —

вокупности и расположение точки с координатами (Pt, Р2) на плоскости моментов;

• выбор модели, в зону притяжения которой попала точка с

— у              —

координатами (р( и Р2 ).

Метод упорядочения, основанный на плоскости моментов, достаточно прост. Однако у него есть ряд недостатков. Вот лишь некоторые из них:

• метод применим только для моделей, имеющих теоретиче-

у

ские характеристики Р] и р2 (есть модели, например распределение Коши, для которых теоретические моменты не существуют);

¦у

• с увеличением значений характеристик Р] и р2 дисперсии их оценок также увеличиваются и зоны притяжения различных моделей, расположенных на плоскости моментов, начинают перекрываться - растет неопределенность при выборе моделей;
• на плоскости моментов существует критическая область, по-

¦ у              '—¦

падание в которую Р( и Р2 не позволит выбрать адекватную эмпирическим данным модель.

В практике статистических исследований используются и некоторые другие методы упорядочения: зе-диаграмм, плоскости квантилей, метод упорядочения по затянутости «хвостов» распределений [6, 11].

! Пример 13. Распределение магазинов по объему розничного товарооборота (млн. руб.) в одном из районных центров представлено в группированном виде:

Необходимо подобрать гипотетическую модель распределения для описания эмпирических данных.

Найдем оценки числовых характеристик выборки, используя выражения (6, 10, 12, 16, 17):

щ = 78,92 млн. руб., D = д2 = 52,15 млн. руб.,

Дз = 80,35 млн. руб., р.4 = 8906,9 млн. руб.

Следовательно, (З2 =0,043, Р2 = 3,145.

Точка с координатами (0,043, 3,145) попадает на плоскости моментов (см. рис. 15) в зону притяжения модели нормального распределения. Поэтому в качестве гипотетической модели, описывающей эмпирическое распределение магазинов по объему розничного товарооборота, можно предложить нормальное распределение (см. п. 2.2.1). Параметры модели а и А, неизвестны.