8. Распределение степенного ряда.

Целый класс дискретных распределений может быть построен по следующей схеме. Рассмотрим произвольный степенной ряд , с неотрицательными коэффициентами (а(х) ≥ 0 для всех х ≥ l) и ненулевым радиусом сходимости R.

(21)

(это числа неотрицательные и в сумме дают 1). Такого типа распределение и называется распределением степенного ряда. Класс таких распределений весьма обширен и включает в себя многие стандартные распределения. В частности, в него входят распределение Пуассона П() (см. (9)): для него ; отрицательное биномиальное распределение (r, ) (см. (6)): для него ; логарифмическое распределение, задаваемое вероятностями

(22)

для него ; и т.д., а также соответствующие усеченные слева распределения.

Примечание. Усеченным называется распределение, у которого некоторые значения запрещены. Например, усеченным в нуле распределением Пуассона является распределение, задаваемое вероятностями (сравни с (9))

(23)

где константа с определяется из условия нормировки , и в данном случае она равна .

Если случайная величина имеет распределение степенного ряда (21), то ее первые два момента находятся по формулам

и (24)

(убедитесь, что формулы для моментов в п.п. 2 и 3 являются частными случаями этих выражений).

Важным свойством степенного ряда является следующее: если случайные величины X₁, … , X_n независимы и имеют одно и то же распределение (21), то их сумма Х = X₁ + … + X_n также имеет распределение степенного ряда, порождаемое функцией , т.е.

(25)

где коэффициенты a_n(x) определяются разложением .