8. Распределение степенного ряда.
Целый класс дискретных распределений может быть построен по следующей схеме. Рассмотрим произвольный степенной ряд 
, с неотрицательными коэффициентами (а(х) ≥ 0 для всех х ≥ l) и ненулевым радиусом сходимости R.
можно определить дискретное вероятностное распределение с плотностью 
(21)
(это числа неотрицательные и в сумме дают 1). Такого типа распределение и называется распределением степенного ряда. Класс таких распределений весьма обширен и включает в себя многие стандартные распределения. В частности, в него входят распределение Пуассона П(
) (см. (9)): для него 
; отрицательное биномиальное распределение 
(r, ) (см. (6)): для него 
; логарифмическое распределение, задаваемое вероятностями
(22)
для него 
; и т.д., а также соответствующие усеченные слева распределения.
Примечание. Усеченным называется распределение, у которого некоторые значения запрещены. Например, усеченным в нуле распределением Пуассона является распределение, задаваемое вероятностями (сравни с (9))
(23)
где константа с определяется из условия нормировки 
, и в данном случае она равна 
.
Если случайная величина 
имеет распределение степенного ряда (21), то ее первые два момента находятся по формулам
и 
(24)
(убедитесь, что формулы для моментов в п.п. 2 и 3 являются частными случаями этих выражений).
Важным свойством степенного ряда является следующее: если случайные величины X1, … , Xn независимы и имеют одно и то же распределение (21), то их сумма Х = X1 + … + Xn также имеет распределение степенного ряда, порождаемое функцией 
, т.е.
(25)
где коэффициенты an(x) определяются разложением 
.