3.3. Что происходит при коллапсе

Р= Ф(г, п, R)c4/(8nGR2)

где радиус кривизны R определяется соотношением

R2 = 3c2/(8nGp)

а функция безразмерного давления Ф(г, г i, R) задается дробью вида

3Jl-(r/R)2 -3Jl-(rJR)2 Ъ^-irJRf -4\-{rlRf

Гравитационный потенциал классической теории тяготения тесно связан с компонентой goo метрического тензора в ОТО. Решение Шварцшильда дает для этой величины внутри шара выражение

goo= (|Vl-^2/i?2 - ^\-r2IR2) 2

а вне шара - отвечающее классическому потенциалу

goo =l-r13/(R2r)

Обратим внимание на наличие радикалов. Толмен в своей монографии замечает, что решение, как правило, является действительным, т.к. обычно радиус шара г? меньше, чем радиус кривизны R. Действительно, гравитационный радиус RG такого шара равен

RG=2GM/c2 = 2-(4-n-ri-G-p) /(3-е2) = г//R2

откуда следует соотношение

Ro/r^in/R)2

3. О черных дырах, метаболическом времени и линейном расширении Вселенной

37

Рассмотрим вначале поведение безразмерной компоненты метричского тензора goo по мере приближения к коллапсу, представленное графически в диапазоне 0 < r/ri < 1.1 . Пока близость к коллапсу (мера которой определяется отношением радиуса кривизны к радиусу шара или, что эквивалентно, отношением реальной плотности к критической) не превышает определенного значения, кривая монотонного нарастает (рис.

G_00: (R/r1)=2 (Плотн/Крит плотн) = .01562 Нач. значение = .6384618

.77 | : : : : : : : : : |—~^\

.63 i ¦— г ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1

0 .1 2 .3 А .5 .6 .7 .8 .9 1 1.1 (гД1)

Рисунок 3.2. Распределение goo вдалеке от границы коллапса

Между тем не при всех значениях отношения R/ri в отсутствие коллапса функция goo имеет лишь один экстремум (минимум при г = 0). Такая ситуация возникает вблизи коллапса (но еще до его наступления). Если приравнять производную dgoo/dr к нулю, то при выполнении условия

9/8 > (B/rj)2 > 1

возникает еще один внутренний экстремум при

r/R = ^9r2 IR2 -8 .

В этом случае данный внутренний экстремум будет минимумом, а экстремум при г = О теперь уже будет локальным максимумом. Поэтому при дальнейшем приближении к режиму коллапса (при 1 < R/ri < 3/2л/2) монотонное поведение этой зависимости нарушается, вместо одного экстремума (минимума) появляются два (рис. 3.3). Начальная часть зависимости "выпучивается" вверх с максимумом в центре шара, а внутри шара появляется новый минимум, который при дальнейшем приближении к коллапсу смещается к границе шара.

Наконец, при наступлении коллапса (рис. 3.4) этот минимум преобразуется в излом, расположенный в точности на границе шара.

0 .1 2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1 1.1 (гД1)

Рисунок 3.3. Распределение goo при появлении дополнительного экстремума

G_00: (R/r1)=1.01 (Плотн/Крит плотн) = .94204 Нач. значение = 8.377776Е-02

38

3. О черных дырах, метаболическом времени и линейном расширении Вселенной

Рассмотрим теперь, как ведет себя безразмерное давление. Достаточно далеко от режима коллапса давление строго положительно и монотонно убывает от центра шара к его границе до нуля (рис. 3.5).

.25

G_00: (R/r1)=1 (Плотн/Крит плотн) = 1 Нач. значение = .25

п f г ! г_-_-- г п f г

J I L I I L J ¦__ _">* L

.25

О .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1 1.1 (гД1)

Рисунок 3.4. Распределение goo при наступлении коллапса

Давление: (R/r1)= 2 (Плотн/Крит плотн) = .01562 Нач.

т п f f ^"^-__ г т ~ '

1 J i i i L 1 J_ _~lV- i

.00

144.49

.00

0 .1 .2 .3 А .5 .6 .7 .8 .9 1 (гД1)

Рисунок 3.5. Распределение давления вдалеке от режима коллапса

Давление: (R/r1) = 1.0625 (Плотн/Крит плотн) = .69506 Нач. значение = 144.4932

.5 а)

1 (г/П)

6646.0

.00

Давление: (R/r1) = 1.0607 (Плотн/Крит плотн) = .70217 Нач. значение = 6646.075

.2

.5 б)

1 (г/П)

Рисунок 3.6. Эволюция распределение давления при приближении к режиму коллапса при наличии единственного экстремума (минимумума) у компоненты goo

3. О черных дырах, метаболическом времени и линейном расширении Вселенной

39

Давление: (R/r1) = 1.0605 (Плотн/Крит плотн) = .70206 Нач. значение = -1655.109

5084.4

___ т j f f f j т п f

1 I i i i I 1 J i

-20582.

.0 1 (г/г1)

a)

Давление: (R/r1)= 1.05 (Плотн/Крит плотн) = .74621 Нач. значение =-24.45531

740.24

т j f f _ f j т п f

1 I i i_\ i I 1 J i

-1028.6

.0 1 (r/r1)

б)

Давление: (R/r1)= 1.01 (Плотн/Крит плотн) = .04204 Нач. значение =-4.454001

06.40

T j f f f j T n f

1 I i i i I 1 J _\i

-60.17

.0 1 (r/r1)

в)

Давление: (R/r1)=1 (Плотн/Крит плотн) Нач. значение =-3

.00

T j f f f j T i f

1 I i i i I 1 J i

.0 1 (r/r1)

г)

Рисунок З.7. Переход от ограниченного по величине однополярного импульса давления к разрывному поведению после появления второго экстремума (минимума) у компоненты goo- Смещение точки разрыва давления к границе шара при дальнейшем приближении к режиму коллапса

40 3.0 черных дырах, метаболическом времени и линейном расширении Вселенной

По мере приближения к условию появления дополнительного экстремума goo возрастает неравномерность распределения давления - оно как бы "сплющивается" в центральной области шара (рис. 3.6а и 3.66).

Совсем другая картина наблюдается при дальнейшем приближении к режиму коллапса после появления второго экстремума у компоненты goo, т.е при 3/2"v2>(R/ri)>l.

Итак, еще в отсутствие коллапса, но вблизи граничного условия R/ri = 1, при котором он наступает, мы сталкиваемся с новым феноменом - отрицательным давлением. Отрицательные давления не являются для физики чем-то новым. В обычных условиях давление тел положительно, т.е. направлено так, как если бы тело стремилось расшириться. Это, однако, не обязательно, и тело может находиться также и в состояниях с отрицательными давлениями: в таких состояниях тело как бы "растянуто" и потому стремится сжаться. Например, отрицательным давлением может обладать перегретая жидкость; такая жидкость действует на ограничивающую ее поверхность с силой, направленной внутрь объема жидкости. В рассматриваемом случае отрицательное давление может быть обусловлено "растяжением" объема вследствие изменения метрики.

В этом диапазоне режимов по мере приближения к коллапсу положение точки разрыва очевидным образом смещается от центра шара к его границе. Начальное давление отрицательно и по мере приближения к коллапсу стремится к значению -3, а граничное давление всегда равно нулю. При наступлении коллапса (R/ri = 1) на границе шара давление становится неопределенным (0/0).

Мы можем теперь сформулировать следующие выводы:

Из постановки задачи в книге Толмена непосредственно следует, что внутри шара, где плотность материи отлична от нуля, принципиально не равно нулю и статическое давление, оно обращается в нуль только вне шара, т.е. в полностью свободном от материи пространстве.

При приближении к коллапсу распределение давления (и, очевидно, материи) резко и принципиально меняется. Оболочка коллапсирующего тела не просто вырождается в горизонт событий (уже после наступления коллапса), но становится критической областью с парадоксальными свойствами еще до этого.