§ 5. Диссипативность и устойчивость матрицы сообщества

Что можно сказать об устойчивости вольтерровских систем общего вида (2.1)? Если априори не накладывать никаких ограничений на квадратичную форму, определяе­мую через матрицу сообщества Г, то содержательные ут­верждения относительно устойчивости равновесия 2V* могут быть получены лишь путем линеаризации и анализа спектра соответствующей матрицы.

Поскольку подходящим выбором е_г всегда можно до­биться любых, наперед заданных значений (система единственным образом разрешима относительно е), вышесформулированное требование означает, что мат­рица £)(— Г) должна быть устойчивой при любых значениях или, иными словами, матрица —Г должна сохра­нять устойчивость при умножении ее слева на любую диагональную матрицу D с положительными элементами.

Содержательность понятия Д-устойчивости подтвер­ждается тем фактом, что возможны устойчивые матрицы, не обладающие Д-устойчивостью [15]). Известны следующие усло­вия Д-устойчивости.

Необходимое условие. Если А Д-устойчива, то все ее миноры четного порядка неотрицательны, а нечет­ного порядка — неположительны, причем имеются ненуле­вые главные миноры каждого порядка.

Достаточное условие. Если существует та­кая положительная диагональная матрица В, что матрица отрицательно определена, то матрица А Д-ус-

тойчива [16]).

Д-устойчивой является, например, симметричная отри­цательно определенная матрица А, так как в качестве В для нее можно взять матрицу 1/2. Более того, Д-устойчивой является и матрица —Г любой диссипативной системы (2.1). Действительно, по определению диссипативности су­ществует такая матрицаНеположитель­

ными а_;, что квадратичная форма _хч , , положи­тельно определена [17]). А это, в свою очередь, эквивалентно положительной определенности (симметричной) матрицы

откуда следует, что r качестве В для матрицы —Г может быть взята матрица т. е. для —Г выполняется доста­точное условие Д-устойчивости.

В том, что класс Д-устойчивых матриц не исчерпывается диссипативными системами, легко убедиться на примере матрицы —Г второго порядка со знаковой структурой

которая Д-устойчива, но не может быть диссипативной, коль скоро содержит нулевой элемент на главной диагонали (см. условие (3.10)).

Необходимое условие полной устойчивости матрицы А состоит в том, чтобы все главные миноры А четных порядков были положительны, а нечетных порядков — отрицательны. Условие вытекает из того, что главные миноры суть опре­делители устойчивых главных подматриц.

Интересно выяснить, в каком соотношении находятся между собой свойства полной устойчивости матрицы —Г и диссипативности системы (2.1) с матрицей Г. Заметим, что хотя определения § 3 были даны для систем уравнений,

Если в знакоопределеннои квадратичной форме некото­рые переменные положить равными нулю, то форма по- прежнему будет знакоопределенной относительно остав­шихся переменных. Таким образом, любая главная под­матрица' диесипативной матрицы А сама диссипативна

I и, следовательно, Д-устойчива, откуда получаем, что всякая ! диссипативная матрица является вполне устойчивой.

| Из всех предыдущих рассуждений вытекает следующая

картина соотношения свойств устойчивости матрицы Л:

(5.1)

Возвращаясь к матрице сообщества —Г для вольтерров- ской системы (2.1), можно сказать, что первых трех свойств диаграммы (5.1) достаточно для (асимптотической, по Ляпу­нову) устойчивости равновесия тогда как из одной

лишь устойчивости —Г такого вывода сделать нельзя: при одних значениях равновесие может быть устойчивым, при других — нет.

Существует, однако, целый класс матриц, для которых все свойства диаграммы (5.1) эквивалентны. Это так назы­ваемые нппмпльные матрицы — матрицы, обладающие свой­ством Л (в действительном случае

Нормальными являются, например, симметричные и анти­симметричные матрицы, или, на языке сообществ, матрицы конкуренции с обоюдоодинаковым влиянием видов и мат­рицы сообществ, состоящих ТОЛЬКО ИЗ ВИДОВ ХИЩНИК — жертва без самолимитирования и с одинаковыми абсолют­ными значениями

Нормальная действительная матрица может быть приве­дена к диагональному виду унитарным преобразованием подобия [18]):

диссипативна, откуда и вытекает эквивалентность всех определений устойчивости диаграммы (5.1) для нормальных матриц.