§ 9. Библиография и комментарии

§ 1. Краткий обзор аргументов в пользу обеих точек зрения на проб­лему соотношения сложности и устойчивости, а также ссылки на эколо­гические источники см.

May R. М. Stability and complexity in model ecosystems.

Отдельные попытки дать формальное определение меры сложности на трофическом графе имели место для двухуровневых систем хищник — жертва:

С a s t у J. Connectivity, complexity and resilience in complex ecosystems. — In: IFAC — Symposium on Control Mechanism in Bio- and Ecosystems. September 1977. Leipzig, 1977, V. 1, p. 34—46.

§ 2. Свойство собственных чисел матрицы (2.3), а также системы (2.8)—(2.9) отмечалось в работах:

May R. М. Stability in model ecosystems. —Quantifying Ecology, 1971, 6, p. 18—56;

May R. M. Stability in multispecies community models. — Math. Biosci., 1971, 12, № 1/2, p. 59—79,

вторая из которых содержит больше математических подробностей, а также примеры модельных траекторий системы (2.1) с п = 2 при нейт­рально устойчивом и неустойчивом равновесии.

§ 3. Схема рассуждений данного параграфа следует гл. 3 цитиро­ванной выше монографии Р. Мэя.

Там же даны и ссылки на работы, в которых высказывались сооб­ражения в пользу различных вариантов I—IV соотношения между устойчивостью одного трофического уровня и двухуровневой системы в целом.

§ 4. Изложенные здесь результаты были получены в работе:

Логофет Д. О. Исследование системы п пар «хищник — жертва», связанных по конкуренции. ДАН СССР, 1975, 224, № 3, р. 529—531.

§ 5. Идея случайного конструирования матрицы сообщества в ис­следовании проблемы сложность против устойчивости была развита в работе:

May R. М. Will a large complex system be stable? — Nature, 1972, 238, № 5364, p. 413—414,

где были получены и оценки (5.4) и (5.5).

Gardner М. R., A s h b у W. R. Connectedness of large dynamical (cybernetic) systems: critical values for stability. — Nature, 1970, 228, № 5273, p. 784;

Daniels JMackay A. L. The stability of connected linear systems. —Nature, 1974, 251, № 5468, p. 49—50; Saunders P. T., Bazin M. J. Stability of complex ecosystems. — Nature, 1975, 256, № 5513, p. 120—121; Pimm S. L., La wton J. H. Number of trophic levels in ecological communities. — Nature, 1977, 268, № 5618, p. 329—331.

§ 6. Вывод о том, что более сложные структуры с большей вероят­ностью устойчивы, получался при исследовании случайных структур с различными ограничениями:

Makridakis S., Faucheux С. Stability properties of general systems. — In: Gen. Syst/Yearbook Soc. Gen. Syst. Res. Washington, 1973, V. 18, p. 3—12;

Webber M. I. Food web linkage complexity and stability in a model ecosystem. —In: Ecological Stability/Eds. M. B. Us­her, M. H. Williamson. L., 1974;

De Angelis D. L. Stability and connectance in food web models. — Ecology, 1975, 56, № 1, p. 238—243.

Концепция осуществимых систем предлагалась в работах:

Roberts A. The stability of a feasible random ecosystem. — Nature, 1974, 251, № 5476, p. 607—608;

MacDonald N., The stability of a feasible random eco­system. — Math. Biosci., 1975, 27, № 1/2, p. 141—143,

§ 7. В несколько иной, но эквивалентной форме понятие связной устойчивости предлагалось в работах:

S і 1 j a k D. D.

1. Connective stability of complex ecosystems.—Nature, 1974, 249, № 5454, p. 280;

2. When is a complex system stable? —Math. Biosci., 1975, 25, № 1/2, p. 25—50,

— во-второй из которых доказан ряд теорем об устойчивости и неус­тойчивости равновесия в системах более общего, чем линейный, вида, а именно, в таких, где элементы матрицы А суть ограниченные функции времени и фазовых переменных и выполнено диагональное свойство типа (7.7). Интересно отметить, что многие эти результаты нашли свои аналоги и в системах стохастических дифференциальных уравнений:

Ladde G. S., Slljak D. D. Stochastic stability and instability of model ecosystems. — In: Proc. IFAC 6th World Congr. Boston—Cambridge, 1975, Pittsburg, 1975, P. 3, p. 55.4/1—55.4/7.