§ 8. Библиография и комментарии

§ 1. Классификация типов взаимодействия видов на основе пары знаков взаимного влияния описана — помимо фундаментальной моно­графии Ю. Одума — также в книге:

Уильямсон М. Анализ биологических популяций.

§§ 2, 3. Результаты В. Вольтерра по консервативным и диссипа­тивным сообществам изложены в его лекциях:

Вольтерра В. Математическая теория борьбы за сущест­вование. Перевод с франц. —М.: Наука, 1976.

В послесловии к этой книге:

Свирежев Ю. М. Вито Вольтерра и современная мате­матическая экология,

содержится материал, которому следует § 2.

§ 4. Излагаются результаты работы:

YorkeJ. A.,Anderson W. N. Predator-prey patterns.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1973, 70, № 7, p. 2069—2071.

Алгоритм поиска разбиения на пары максимальной кардинальности содержится в статье:

Edmonds J. Paths, trees, and flowers. — Can. J. Math. 1965, 17, № 3, p. 449—467.

В литературе по теории графов разбиению на пары хищник—жертва соответствует термин согласование или парасочетание, а трофический траф называется двудольным или простым.

§ 5. Определение Д-устойчивости и полной устойчивости матрицы и необходимое условие Д-устойчивости следуют статье:

Quirk J. Р., Ruppert R. Qualitative economics and the stability of equilibrium. — Rev. Econ. Studies, 1965, 32, № 92, p. 311—326.

В несколько иной, но эквивалентной форме определение Д-устойчивости дано в работе:

Arrow К. J.,MacManus М. A note on dynamic stabi­lity. — Econometrica, 26, 1958, № 3, p. 448—454,

где доказано также достаточное условие Д-устойчивости.

§ 6. 7. Понятие качественной устойчивости сообщества формули­

ровалось и обсуждалось в работах:

May R. М. Qualitative stability in model ecosystems. — Eco­logy, 1973, 54, № 3, p. 638—641;

May R. M., Stability and complexity in model eco­systems. — Princeton: Princetin Univ. Press, 1973.

Определение знак-устойчивости матрицы, условия (1)—(4) и ряд теорем о знак-устойчивости, в том числе теорема 1, приведены в статье [19]);

Quirk J. Р., Ruppert R. Qualitative economics and the stability of equilibrium. — Rev. Econ. Studies, 1965, 32, №92, p. 311—326.

Отсюда же взяты и основные идеи доказательства леммы 1.

Примеры неустойчивых матриц (6.6) и (6.8) и доказательство доста­

точных условий знак-устойчивости предлагались в статье:

Jeffries С. Qualitative stability and digraphs in model ecosystems. — Ecology, 1974, 55, № 6, p. 1415—1419.

Обобщение этих условий на случай, когда элементы матрицы А зависят от численностей и от /, см. в работе:

Jeffries С. Stability of ecosystems with complex food webs. — Iheor. Pop. Biol., 1975, 7, № 2, p. 149—155.

Дальнейшие исследования качественных свойств сообществ с исполь­зованием знаковых ориентированных графов содержатся в статье:

Levins R. Evolution in communities near equillibrium. — In: Ecology and evolution of communities. Eds. M. Cody, J. Diamond.—Cambridge: Harward Univ. Press, 1975, p. 16—50.