Оценивание парных ранговых связей Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна

Для измерения степени тесноты парной статистической связи между ранжировками К. Спирмэн в 1904 г. предложил показатель, который впоследствии получил название рангового коэффициента корреляции Спирмэна [2, 4, 12]

(85)

т(9 = 1

V 1              „3

П ~П ,=|

где R/ и R- Jgt;- і ранги соответственно параметров к и j.

^(и3 -n)-^(R/ -R,U))2 -Т(к) -Г(/)

:(и3-«)~2Г0)

?(¦')

(86)

(пг -п)-2Т{к)

где Гк) и 7^ могут быть найдены из выражения

(87)

где п; - количество элементов в группе неразличимых рангов, а т(к) - число групп неразличимых рангов.

Нетрудно убедиться, что при совпадающих ранжировках

R{k) = R- J) r/ = \, а при противоположных т/ =-1. Во всех прочих случаях |т^у)| lt; 1. Если - 0, связь между компонентами

отсутствует. Кроме того, очевидно, что ранговый коэффициент корреляции обладает свойством симметрии, т. е.              .

іШО Пример 40. Для данных примера 32 вычислим степень тесноты парной связи между доходами семьи и расходами на приобретение кондитерских изделий с помощью рангового коэффициента корреляции Спирмэна.

Составим вариационные ряды для U и V и расставим ранги (см. табл. 12 и 13).

Таблица 12

Вариационный ряд для параметра U

Таблица 13

Вариационный ряд для параметра V

В табл.

Таблица 14

Ранжировки для параметров U и V

Поскольку в ранжировках есть группы объединенных рангов, то для вычисления необходимо воспользоваться выражениями (86) и (87).

Для ранжировки Rf^ rrfk^ = 4,              =              2,              г?/              =              3,              -              2,

лГ =2.

Для ранжировки Кф , mlt;J) = 1, п\У] = 3. Проведем вычисления поправочных коэффициентов (87)

Йи) = ^ [(8-2) + (27-3) + (8-2) + (8-2)] = 3,5,

= — (27 - 3) = 2. 12

Следовательно,

^(33 75-15)-( 16+9+9+16+16+4+16+9+9+9+4+9+4)-3,5-2

(3375-15)-4

^(3375-15) -7

= 0,765.

560-130-5,5

554,5

Следовательно, между доходами семьи и расходами на покупку кондитерских изделий существует сильная положительная связь.

4.3.2.2. Ранговый коэффициент корреляции Кендалла

Другим измерителем степени тесноты статистической связи между двумя ранжировками является ранговый коэффициент корреляции Кендалла [2, 4], определяемый выражением

4v

(88)

п(п -1)

т{К) -1.

Tkj 1

где v( R[k), R[J)) - минимальное число обменов последовательности R\]), необходимое для приведения ее к упорядочению, аналогичному R[k).

При совпадающих ранжировках R-k) и R\J) обменов не будет, следовательно, v( R}k), R(,J)) = 0 и fk/K) = 1. Во всех других случаях

для ТІР выполняется условие |т^|lt;1.

Выражение (88) справедливо при отсутствии в ранжировках групп объединенных рангов.

В противном случае необходимо воспользоваться формулой

?(*¦)_

=(*Т _ Ч/ _

(89)

2Ґ

1-

1-

«(«-о

2(Т(к) +Т{Л)

«(/7-І)

2 Т(к) «(«-!)

(./)

где тIP - оценка парного рангового коэффициента корреляции из

выражения (88). Поправочные коэффициенты Т(к) и Ти) могут быть получены в виде

і "gt;(*)

(90)

/=1

где т{к) - количество групп объединенных рангов, п\к) - количество элементов в группе. Свойства парного рангового коэффициента корреляции Кендалла аналогичны свойствам коэффициента корреляции Спирмэна.

Необходимо заметить [2, 4, 12], что вычисление является

более трудоемким, чем т{/. Статистические свойства рангового

коэффициента корреляции Кендалла более исследованы. Кроме того, он обладает большими удобствами при его пересчете, если к п статистическим объектам добавляются новые. Между масштабами шкал, в которых измеряют xf'* и х$, нет простого соотношения. Но при умеренно больших п («gt;10) и при условии, что абсолютные величины значений этих коэффициентов не слишком близки к единице, для них справедливо соотношение

;(¦*)

-1 5 тlt;*gt;

* Ч/ •

Пример 41. Для данных примера 32 вычислим парную ранговую связь между доходами семьи и расходами на кондитерские изделия с помощью коэффициента корреляции Кендалла.

Воспользуемся ранжировками, полученными в примере 40 (см.

табл. 14) для вычисления v(J$u\ R{y)). Для этого ранжировку

Таблица 15

Ранжировки U и К для примера 41

R-U) сформируем в порядке возрастания, a RjV) - в соответствии с ранжировкой RjU).

Вычисление v(R,(U), R{iV)) осуществляем следующим образом. Сравниваем во второй ранжировке последовательно каждый элемент, начиная с первого, со всеми последующими. Если предыдущий элемент больше последующего, то необходим обмен между этими элементами и, следовательно, v(gt;/ = 1. В противном случае v,j = 0. Индексы /, j означают соответственно порядковые номера сравниваемых рангов в ранжировке Rjy].

Анализ степени согласованности двух ранжировок дает следующие результаты (см. табл. 15).

6. 2 = V) 3 = V) 4 = ...= V] 15 - 0,

V2.3 = V2,5 = v2,6 = V2,7 = • • •= V2gt;15 = 0, V2gt;4 = 1,

V3,4 = V3j5 = 1, V3j6 = Узу = .. .= V3 15 = 0,

V45 = V4.6 = ...= V4 15 = 0, V5.6 = V5.7 = ...= V5J5 = 0, V6.7 = V6.8 = ...= V6J5 = 0, V78=l,

V7.9 = V7.10 = V7J5 = 0, V8gt;9 = V8il0 = • • .= V8j5 = 0, V9JO = L

V9j]= V9.12 = ...= V915 = 0, Vю,11 = ...= VЮ.15 = 0, VII,12 = ...= Y) 115 = 0, V]2.13 = V]2.14 = Vi2,i5 = 0, Vl3,14 = V13.15 =0, Vi4j5 = 0.

Следовательно, v( RjU), R\V)) = 5. Тогда из (88) найдем

4-5 15(15-1)

Поправочные коэффициенты из (90) равны

7lt;г/)=1[2-1 + 3-2 + 2-1 + 2-1] = 6,

Т(У) =--3-2 = 3.

Получим т\Р' из (89)

= 0,85.

Хк, ~

2-6

1514

1-

0,905-—

15-14

2-3

15-14

Проверка статистически значимого отличия от нуля ранговых корреляционных характеристик может быть осуществлена при не слишком малых п (п gt; 10) при заданном уровне значимости. Данный вопрос рассмотрен в [2, с. 114, 4]. Там же рассмотрена

методика построения доверительных интервалов для т[к) и т[%

[2,с.П6,4].