4 принятие решений в УСЛОВИЯХ неопределенности и частичной неопределенности

Если вероятности возможных ситуаций, в которых будут реализовываться результаты проекта, неизвестны и исходными данными для принятия решения служит матрица эффективностей Е = ||егу||

(здесь etj - эффективность варианта ui, i = 1,n в ситуации Sj, j = 1,к ), то широкое применение получили

методы равной вероятности, Гурвица (Гурвича) и Шанявского [12]. Эти методы отличаются простотой, их удобно использовать, если допускается риск от неправильно выбранного варианта.

В методе равной вероятности оптимальным считается вариант, для которого среднее значение эффективности по возможным ситуациям максимально, т. е.

и* = argmaxje(Oi ) = к- ? ej, i =1 nj . (30)

Таким образом, здесь в качестве критерия оптимальности варианта выступает значение

q рв (и,- ) =e(u i)

Если вместо матрицы эффективности Е задается матрица затрат (потерь) G = ||gij|| к, то опти-мальным считается вариант, для которого критерий

_ 1 к

Чрв (ui ) = g (ui ) = кI gjj

к j=1

минимален.

Задачи с матрицей Е называют задачами на максимум, а с матрицей G - на минимум. В методе Гурвица в задаче на максимум роль критерия qг (ui) играет взвешенное значение минимальной и максимальной эффективности варианта, т.е.

qT (и( ) = аеГ +(1 - c )emax, (31)

emm = min{ey., j = L~k}, emax = max{?y., j = 1k},

где с - весовой коэффициент, c e (0; 1).

Для оптимального варианта имеет место

и* = arg max{qг(ui), i = 1,n}.

i

Если решается задача на минимум, то

U* = arg шТ{дг (ui), i = 1, n},

i

qг (и,- ) = cqr +(1 - c)qrx, qr (max )= min^ max j (qy., j = 1k}.

Метод Шанявского использует результаты, получаемые методом равной вероятности с некоторой коррекцией.

qin (и, ) = cqрв (U,- ) + (1 - c )e™\ (32)

и* = arg max{qш (и,- ), i = 1,n},

i

в задаче на минимум

qln (и,- ) = cqрв (и,- ) + (1 - c)emax, (33)

и* = ^Ш^ш (и,- ), - = 1n}.

Критерий qш (о,) в отличие от критериев q (и i) и qr (ui) следует использовать в случаях, когда

при выборе оптимального варианта требуется больше осторожности. Вместе с тем, все эти методы позволяют получить эффект, если решение по однотипной проблеме принимается достаточно часто, т.е. выигрыш будет достигнут в среднем при многократном решении задач.

В качестве иллюстративного примера рассмотрим использование этих методов для матрицы эффективности представленной в табл. 15. Здесь же содержаться рассчитанные значения критериев дрв,

qг и qш при с = 0,5.

15 Матрица эффективности Вари- Ситуации Значение критериев анты •1 •2 •3 Чрв qг qin и1 8 6 2 5,33* 5 3,67 и2 7 5 3 5 5 4 U3 6,5 4 4,5 5 5,5 4,75* и4 7 2 4,5 4,5 5,75* 4,5 Как видно из табл. 15 по критерию дрв следует отдать предпочтение варианту и1, по критерию qj, - варианту и4 и по критерию qш - и3.

В случае, когда большую роль играют последствия ошибочных решений или альтернативных потерь, которые мы понесем по сравнению со случаем заранее ситуации, применяется метод Сэвиджа. Построение матрицы R последствий ошибочных решений, когда q соответствует эффективности (задача на максимум), производится следующим образом:

для каждого столбца матрицы ЩЦ находятся максимальные элементы, т.е.

„max „max „max

ei1 , 2 ,'", evk , \J4J

из элементов (34) вычитаются другие элементы соответствующих столбцов, в результате получаем элементы матрицы R , т.е.

11 = emax - eii, Г21 = emax - в21 и т.д.

В качестве показателей вариантов - критерия qc рассматриваются максимальные значения в строках матрицы R , предпочтительнее вариант с минимальным значением показателя, т.е.

и* = argrnnjqc(ог) i = 1n}, qc(ог)= max{ry}. (35)

1 j

Для данных табл.

emax = 8, e2"ax = 6, e3max = 4,5.

Матрица R последствий ошибочных решений приведена в табл. 16. В соответствии с (35) оптимальным по методу Сэвиджа является вариант и2.

16 Матрица последствий ошибочных решений

Вариан- Ситуации qc ты S1 S 2 S3 U1 0 0 2,5 2,5 и2 1 1 1,5 1,5 и3 1,5 2 0 2 и4 1 4 0 4 Если рассматриваемая проблема имеет большое значение, цена риска принять неправильное решение исключительно велика, решение реализуется однократно, необходимо учитывать возможные ситуации, вероятности которых неизвестны, при этом значения матрицы эффективности Е (или затрат G) достаточно достоверны, то обычно применяются методы теории игр [6, 12].

В случае решения задачи на максимум с использованием матрицы Е применяется максиминный критерий и предпочтение отдается варианту, для которого наименьшее значение e, min = min{e,j} максималь-

но, т.е.

и = argmax- I j

x{mm{ey. }. (36)

Для матрицы эффективностей Е , приведенной в табл. 15,

e1 min 2, e2min 3, e3mm 4, e4min 2.

В соответствии с соотношением (36) и* = и3, для этого варианта гарантирован результат с эффективностью не менее e3min = 4 при любых возможных ситуациях.

Для задач на минимум с матрицей G используется минимаксный критерий, т.е.

и* = argmin{maxg }. (37)

I j

В этом случае в каждой строке находятся максимальные значения затрат g, max = max g} и выби

рается вариант и * с минимальным значением g, max.

В предположении, что в табл. 15 содержатся значения матрицы G, то

g1max = 8; g2max = 1 g3max = 6,5 ; g4max = 7 и U* = U3 .

В задачах на максимум иногда используется простой критерий в виде произведения элементов строк, т. е.

к

qпр(и,- )=П ev,

j=1

и определяется вариант

u* = argmax(qпр (и,-)).

Этот критерий может использоваться в случаях, когда необходимо считаться со всеми ситуациями и допускается некоторый риск.

Если в матрице lleJ содержатся и отрицательные элементы, то критерий ^пр можно использо

min ei

вать перейдя от исходной к новой матрице ||ej + a|| k, a >

В случаях, когда вероятности P(sj), j = 1,...,k ситуаций известны, достаточное распространение

получил метод Байеса-Лапласа [12].

qб.Л (U ) = ? ejp(Sj \

j=1

k

(48)

и предпочтение отдается варианту

(49)

и = arg max\qбл (и

fq б.Л (ui X1=1, к, n}.

В задачах на минимум

(50)

и = arg min\qбл (и

infq БЛ (UX 1 =1 к, n},

q б. л ^gj

j=1

(u )=? gAsj).

Область применения метода Байеса-Лапласа: 1) вероятности ситуаций p(s;-), j = 1,.,k известны и их

можно считать постоянными на период реализации проекта; 2) решение по проектированию подобных систем принимается и реализуется часто; 3) риск от неправильно принятого решения не приводит к серьезным последствиям.

Например, пусть матрица Е в табл. 15 дополнена следующими вероятностями ситуаций

тогда

P(s1 ) = 0,6; P(s2 ) = 0,1; P(s3 ) = 0,3, q (D1 )= 8-0,6 + 6 • 0,1 + 2-0,3 = 6,

q (u2 ) = 7 • 0,6 + 5-0,1 + 3-0,3 = 5,6

q (u3) = 6,5 • 0,6 + 4 • 0,1 + 4,5 • 0,3 = 5,65,

q (и 4 ) = 7 • 0,6 + 2 • 0,1 + 4,5 • 0,3 = 5,75

и и* = и1.

Метод Байеса-Лапласа часто используется в сочетании с другими методами. Например, критерий Ходжа-Лемана определяется в виде взвешенного среднего между оценками, получаемыми методами Байеса-Лапласа и максимина (в задаче на максимум), т.е.

k

(51)

qx. л (и )=cI qvP(sj)+(1 - c) min{e>-(и)}.

j=1

и

Г k

(52)

и = arg max

CZ e'jp(sj) +(1 - c) min{ej(u)}

j=1

Данный метод применяется в случаях, когда имеются некоторые предположения о вероятностях ситуаций P(sj), j = 1,K,k, принятое решение может реализоваться много раз и допускается некоторый риск.

Если рассматриваются значения потерь (затрат) в различных ситуациях и q.j < 0, то можно использовать критерий Гермейера. Согласно этому критерию для каждой строки находится наименьшее значение в виде

q^ (и) = min{q1jp(sj)} (53)

и затем определяется вариант и* с максимальным значением qrEP (и.), т.е.

k-ер (U)}.

(54)

и = arg max q

Данный критерий можно использовать и при отдельных положительных значениях q.j.

гУ lln,k

тельными элементами.

Область применения критерия: вероятности ситуаций приближенно известны и с ними надо считаться, решение реализуется один (или малое число) раз и допускается некоторый риск.

Известен ряд более сложных составных критериев, которые используют результаты, получаемые различными методами, например, в виде объединения критериев Байеса-Лапласа и минимакса. В данном случае матрица \е^\пк дополняется тремя столбцами:

в первом записываются усредненные значения (математические ожидания) строк, т.е.

k

q б Л (u.)=Z evp(j);

j=1

во втором - вычисленная разность между "опорным" значением

(55)

qmaxlo ) = maxmax{ey}

j

и наименьшими значениями в строках

(56)

qmin

(u.)=min{ey};

- в третьем столбце помещаются разности между

qmaxl U

(ui ) = max{eij}

и наибольшим значение qmax (i o, j) той строки, в которой находится qmax (i o, jo).

Выбирается вариант и*, который имеет наибольшее математическое ожидание и при этом выполняются следующие условия между элементами второго и третьего столбцов:

соответствующее значение из второго столбца

qmax (io, jo )- qmin (U*)

должно быть меньше или равно задаваемому уровню риска едоп ;

значение из третьего столбца для строки и* должно быть больше значения из второго столбца.

Область применения данного критерия: имеется априорная информация о вероятностях P(sj), j = 1,.,k ; необходимо в комплексе учитывать возможные ситуации и допускается ограниченный

риск.

В последние годы большое распространение стали получать алгоритмы принятия решений, основанные на нечетких множествах и нечеткой логике. Эти алгоритмы особенно эффективны, когда ситуации известны весьма приближенно. Однако здесь требуется значительная работа по определению функций принадлежности, что иногда связано с серьезными трудностями.