5. 2. Силовое поле. Силовая функция. Потенциальная энергия

Предположим, что точка движется в некотором пространстве и на нее со стороны пространства действует сила, которая зависит от положения точки в этом пространстве, но не зависит от скорости движения точки.

Силы, зависящие от положения точек их приложения, в механике встречаются часто. Например, сила упругости, приложенная к материальной точке, которая движется по горизонтальной прямой под действием пружины. Важнейшим примером силового поля в природе является гравитационное поле: действие Солнца на планету данной массы определяется в каждой точке пространства законом всемирного тяготения.

Силовое поле называется потенциальным, если существует скалярная функция U, зависящая только от координат , , точки -точки материальной системы (возможно, и от времени), такая, что

. (5.9)

Функция называется силовой функцией.

Рассмотрим свойства силовой функции.

Элементарная работа (5.1) связана с силовой функцией следующим образом

т.е.

Таким образом, элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функции.

Полная работа силы на участке от точкидо точки (рис.5.1)

т.е. . (5.10)

Из полученных выражений следует, что

1. работа силы в потенциальном силовом поле по любому замкнутому пути равна нулю;

2. работа силы в потенциальном силовом поле зависит только от положения конечной и начальной точек, но сам путь перемещения роли не играет.

Потенциальная энергия. Потенциальной энергией П в рассматриваемой точке силового поля Р называют работу, которую совершают силы поля, действующую на материальную точку при ее перемещении из точки Р в начальную точку 1, т.е.

П=или П=

Свяжем силовую функцию U с потенциальной энергией. Имеем

т.е.

, или

Примеры вычисления потенциальной энергии

1. Однородное поле тяжести. Пусть m – масса точки; g – ускорение свободного падения. Тогда (рис. 5.2)

.

2. Силовое поле упругой пружины. Пусть материальная точка движется вдоль оси Ох (рис. 5.3) под действием пружины, к которой она прикреплена. Если при пружина не деформирована, то, полагая в формуле (5.5) , получим

.