«УЧЕНИЕ О ВЕЛИЧИНАХ» РОБЕРТА ГРАССМАНА: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРОЦЕДУРЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ОТНОШЕНИИ РАВЕНСТВА  

В самом деле, развертывание теории величин начинается с постулирования - «полагания в мышлении», как говорит Р. Грасс&ман, - исходных объектов, обозначаемых буквами е, e]f е2..., и мыслимых, как выразился автор «учения о величинах» в труде 1890 г.

На элементах определен ограниченный набор бинарных опе&раций - «связей», соединяющих две и только две величины. Каж&дое применение бинарной операции к элементам или ранее по&строенным из них величинам порождает результат связи, или целостность, также являющуюся величиной; таким образом, множество всех величин оказывается замкнутым относительно бинарной операции.

Выделяются две особые («постоянные», как сказали бы мы теперь) связи - связь равенства и связь неравенства, обозначае&мые, соответственно, обычным знаком равенства = и специфиче&ским грассмановским знаком неравенства связывание (точнее, результат связывания) двух величин с помощью первого из них называется равенством.

Если дана (конечная) последовательность (ряд) величин (ска&жем, состоящая из п «целостностей»), то входящие в нее величины Р.

Назначение скобки - связать в целостность две заключенные в ней величины для того, чтобы затем результат связи можно было связать с величиной, находящейся вне скобки (например, а о (Ь о с)); то, что в скобке всегда должно стоять только две ве&личины, вытекает из бинарности операции о и (других, вводимых позже, «связей»). Скобки служат для фиксации структуры вели&чин, построенных из других величин, и указания порядка выпол&нения бинарной операции, особенно тогда, когда он отличен от «последовательного связывания». Поскольку в последнем случае не может быть сомнений относительно порядка связывания вели&чин, скобки в соответствующей формуле по желанию могут быть удалены либо введены. Если же порядок применения операции о к заданным величинам, порождающий рассматриваемую целост&ность, отличен от «последовательного связывания», применение скобок обязательно; при этом не предполагается использование наружной скобки - отдельно взятая целостность в скобку не за&ключается.

В случае, когда некоторая «связь», т.е. сложная величина, или целостность, содержит какую-то величину а, она получает наиме&нование формулы (от) величины а и обозначается выражением вида F(a).

Как мы знаем, развертывание учения о формах (величинах) состоит, если воспользоваться словами самого Р. Грассмана, в том, что «от самых простых связей или формул величин восходят к самым сложным, исследуя, какие из этих формул равны друг другу». Такой подход делает весьма значимой идею равенства, которая в известном смысле доминирует во всей теории величин: доказываемые в ней теоремы имеют вид либо выражений, обра&зованных с помощью «связи равенства», либо высказываний от&носительно таких выражений, а в доказательствах широко ис&пользуются тождественные преобразования. Первые два из трех особо формулируемых - в виде теорем - способов доказательств в «учении о величинах», а именно, прямое и поступательное, о которых речь пойдет в следующем разделе данной статьи, обос&новываются Р. Грассманом на основе свойств отношения равенст&ва величин, и соответствующие предложения получают названия «первого и второго законов равенства».

Отношение равенства величин определяется (в пункте 2 «Учения о величинах» 1872 года) обычным образом. «Равными называются две величины при условии, что в каждой связи уче&ния о формах одна может быть заменена другой без изменения значения». На базе этого определения непосредственно доказы&ваются теоремы, выражающие, говоря современным языком, свойства рефлексивности, т.е. то, что каждая величина равна са&мой себе (для любой величины а справедливо а = а, пункт 9), и симметричности (№ 11) отношения равенства величин; послед&нее свойство при этом записывается в виде (а = Ь) = ф = а). Допу&стимость подобной записи, с точки зрения Р. Грассмана, понятна: отношение равенства (так же как и отношение неравенства) тра&ктуется им как частный случай «связей» его учения, почему знак = используется для связывания не только величин, не являющих&ся равенствами (и неравенствами), но и равенств.

Связывание равенств знаком = (над которым мы в нашем пе&реводе в этих случаях ставим точку), т.е. введение отличного от равенства величин отношения равносильности равенств, позво&ляет Р. Грассману в первых доказательствах его теории «обойти» отсутствующее у него понятие логического следования (эта пози&ция отражает принципиальную установку братьев Грассманов - отказ логике в праве быть наукой, предшествующей математике, о чем мы еще будем говорить). В самом деле, рассмотрим доказа&тельство теоремы № 22. Оно имеет вид:

(а = Ь) = (а = а)              (согласно № 2)

==(/? = а),              (согласно № 2)

что поясняется словами так: в силу определения «связи равенст&ва» первую величину (а) можно заменить второй величиной ф), а вторую подставить на место первой. Полная реконструкция это&го доказательства приводит, однако, к рассуждению вида: устано&влено, что а = а (№ 9); если теперь дано, что а = Ъ, то первое вхо&ждение буквы а в равенство а - а можно (согласно № 2) заменить буквой b, и мы получим равенство b = а\ итак, из а = b выведено b = а. Аналогично рассуждая, можно из b = а получить а = Ь. Это и дает основание Р. Грассману соединить оба равенства знаком равенства. Мы видим, таким образом, что этот знак, когда он свя&зывает два равенства, обозначает, по существу, логическую опе&рацию эквиваленции (высказываний) или - другая, возможная трактовка - дедуктивное равенство, т.е. взаимовыводимость (равносильность) двух равенств.

Поскольку без логического следования, хотя бы в самой огра&ниченной его форме, - при стремлении Р. Грассмана к тому, что&бы все выкладки его теории проводились формально, по четким правилам, - обойтись нельзя, оно вскоре, в № 12, вводится неявно, в форме отношения условного равенства, т.е. равенства величин при заданном условии. Как уже известно читателю, это отношение выражается либо знаком =. где звездочка служит отсылке к соот&ветствующему условию, либо в виде двух равенств - допущения, или условия (гипотезы), и заключения (следствия, тезиса). Пер&вой теоремой, доказываемой с помощью условного равенства ве&личин, является теорема № 13: а о b = а о с при условии (*) b = с. Эта и ряд следующих теорем доказываются на основе логических переходов, на которые уполномочивает определение отношения равенства и следующие из него правила замены равным. В част&ности, обоснование теоремы № 14, в современной записи имею&щей вид a = b h F(a) = F(b), при произвольных величинах a, b и произвольном F, состоит в ссылке на определение отношения ра&венства (№ 2), а пояснения, которые дает Р. Грассман, показыва&ют, что он использует правило замены равным. После этого - в № 15 - доказывается теорема, согласно которой две величины, равные некоторой третьей величине, равны, а также теорема, выражающая транзитивность отношения равенства (№ 16). До&казательство этих теорем производится путем ссылки на № 13; так, теорема № 15: а = с, b = c ha = b обосновывается следую&щим образом. Допущение b = с, заключение (а = с) — (а = b) (со&гласно № 13). Рассуждения в № 13 заставляют думать, что «связь равенства» понимается как частный случай бинарной операции. Подобная трактовка отношения равенства в этом случае возмож&на потому, что для произвольной бинарной операции еще не вве&дены никакие свойства, кроме вытекающих из определения ра- венства (№ 2), которые действуют для всего «Учения о величи&нах». Однако первое же свойство, независимое от равенства, свойство, которое, как вскоре обнаруживается, Р. Грассман рас&сматривает в качестве возможного для связи о, - свойство ассоци&ативности - для отношения равенства лишено смысла (как на&пример, истолковывать запись (а = (Ь = с) = ((а = Ь) = с))? Поэто&му можно сказать, что само развертывание теории величин выде&ляет «связь равенства» в особое отношение, поскольку для него не ставится вопрос об ассоциативности и дистрибутивности (свой&ством коммутативности, т.е. симметричности, отношение равен&ства обладает, что и было доказано Р. Грассманом в № 11).

Сказанное поясняет, почему выше, говоря о «логическом сле&довании» в теории величин Роберта Грассмана, мы оговорились - «в самой ограниченной его форме». Ограниченность эта состоит в том, что используемые в этом «следовании» логические средст&ва не выходят за рамки теории равенства. Ведь даже отношение «равенства равенств» есть такая их связь, которая удовлетворяет свойствам равенства.

В связи с идеей равенства становится особенно заметной не&четкость грассмановского различения того, что ныне называют семантическим и синтаксическим уровнями математико-логиче- ских рассмотрений. К сбивчивости терминологии, касающейся «связей» и их результатов, сбивчивости, типичной, как мы уже отмечали, для изложения Р. Грассмана, - добавляется смешение «связи величин» как обозначаемого и ее обозначения. В № 5 кру&жок о рассматривается как «знак связи» («связующий знак»), но в № 8 «связь величин» именуется формулой, т.е «формула», как будто, относится к уровню обозначаемого- Однако из содержания этого последнего пункта усматривается, что она все же принадле&жит к уровню обозначающего. Ибо только при таком истолкова&нии становится понятным введение - в качестве отличных от от&ношения равенства величин - представлений о равнозвучности и соответствии двух формул. Эти рассмотрения Р. Грассмана за&служивают того, чтобы на них остановиться.

Как оказывается, Р. Грассман вводит понятие о том, что ныне называется графическим равенством; это отношение равенства он именует равнозвучностью и определяет так: две формулы равнозвучны (gleichlautend), если они содержат одинаковые связи одинаковых величин. Противоположным для «равнозвучности» является понятие о различии формул (не смешивать с упоминав&шимся выше отношением неравенства величин!): у различных формул не совпадают какие-либо связи или величины. Две раз- личные формулы равны, если одна может быть преобразована в другую (подразумевается: по правилам теории величин) без изме&нения значения целостности; очевидно, что равенство формул имеет место тогда и только тогда, когда равны выражаемые ими величины. Наконец, формулы двух величин называются соот&ветствующими, (entsprechende), если они становятся равнозвуч- ными, если во второй формуле одну из упомянутых величин заме&нить другой.

Грассмановская система понятий, относящихся к равенству - и величин, и формул - (несмотря на отмеченную некоторую сбивчивость в различении семантического и синтаксического уровней рассмотрения), свидетельствует вместе с тем об опреде&ленной тонкости его семиотических (как сказали бы мы теперь) представлений и во всяком случае существенна для выявления такого конструктивистского аспекта его концепции, как сведе&ние равенства величин к графическому равенству изображаю&щих их формул. Такое сведение явно присутствует в доказа&тельствах первых теорем: в №№ 10 и 11 обоснование рассмат&риваемых в них равенств (уравнений) величин, совершающееся на основе определения отношения равенства, № 2, и закона рефлексивности, № 9, завершается констатацией равнозвучно- сти выражающих их формул.

Кроме «связи равенства» величин, обозначаемой обычным знаком =, еще Герман Грассман (в работе 1844 года) ввел отноше&ние неравенства, обозначив его через каковым знаком поль&зовался, как мы видели, и Р. Грассман. В «Учении о величинах» с этим отношением связано малопонятное недоразумение. Р. Грасс&ман определяет: две величины называются неравными, если «ни в одном связывании учения о формах ни одну из них нельзя заме&нить другой без изменения значения». Может показаться, что мы имеем здесь дело с оговоркой, что отношение неравенства - это просто отрицание отношения равенства, и приведенное в кавыч&ках надо читать: «существует такое соединение, что замена в нем одной величины другой меняет значение целостности». Но в № 2 рассматриваемой книги - да и во всех книгах 1872 г., равно как и в трудах 1890 г.[223] Р. Грассман неизменно повторяет свое опреде&ление «связи неравенства». Между тем в грассмановской теории величин оно влечет противоречие. Чтобы более не возвращаться к этому вопросу, покажем (по необходимости забегая вперед, в ту часть учения о величинах, о которой еще не было речи), как оно получается. В силу теоремы № 53 для произвольной величины а верно, что а - 0 = 0. Тогда в теории величин справедливы равенст&ва д+/?0=яия+с-0= я, где ft, с - какие-то величины. Ис&пользование свойств отношения равенства дает я + Ь- 0 = я + с-0. Если теперь ft ^ с, то, согласно определению «связи» оказы&вается, что формулы я + й- Оия + сО должны иметь разные зна&чения, что противоречит приведенному выше равенству. Грасс- мановское определение отношения, выражаемого знаком не «портит» учения о величинах только потому, что он пользуется этим отношением очень аккуратно: в качестве средства задания условия, при котором справедливо некоторое равенство. В книге, которую мы здесь рассматриваем, нет ни одной теоремы, в кото&рой доказывалось бы выражение вида а ^ ft.