ТЕОРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ РОБЕРТА ГРАССМАНА  

Допущение: ах =а2,а2 = ау Допущение: ах = а^ = и т.д.

Заключение: ах =              (согласно 16)

Заключение: ах = а4 (согласно 16)

Допущение: а\ = а„_\ = ап. Заключение: ах = ап (согласно 16)

Во «Введении в учение о величинах», помещенном в рассмат&риваемой книге, это доказательство поясняется так:

если в некоторой (конечной. - Б.2>.) последовательности величин каждая предшествующая величина равна непосредственно последующей, то первая равна любой последующей, потому что тогда первая равна второй, вторая же может быть заменена равной ей третьей, а эта последняя ~ равной ей непо&средственно последующей величине, так что первая величина равна любой последующей величине.

Очевидно, что доказательство № 17 предполагает, в качестве подразумеваемого завершающего шага, акт обобщения: распро&странение утверждения теоремы на произвольные последова&тельности величин длины п (п = 1, 2,..,), обладающие предусмат&риваемым в допущении теоремы свойством, что логически законно, поскольку в ходе доказательства не используются свойства ка- ких-либо конкретных значений п.

Заметим, что теорема № 17 сохраняет силу и в случае, когда знак равенства понимается как выражающий равносильность равенств (что предполагает, правда, соответствующее «проч&тение» теоремы № 16 и ее доказательства, но труда это не сос&тавляет).

Второй тип доказательства - это «поступательное», или инду&ктивное, доказательство, смысл которого Р.

Грассман объясняет так:

Доказывается (...), что если в последовательности величин (конечной. - Б.Б.) для первой ее величины справедливо некоторое равенство и оно таково, что когда оно, кроме того, справедливо для любой величины после&довательности, оно справедливо также и для непосредственно следующей за ней величины, то оно справедливо вообще для всех величин последова&тельности.

Этот способ доказательства подразделяется на два вида: по&ступательные (іиндуктивные) доказательства для величин и аналогичные доказательства для штифтов, называемые также элементарными доказательствами. Процедура доказательств первого вида обосновывается с помощью следующей теоремы.

18. Предложение о поступательном (индуктивном) доказательстве

для величин.

Допущение: F(a{) = %(а{), lF(aa) = g(aa)] = [F(aa + 1) = %(aa + 1)].

Заключение: F(an =

В Комментариях к теоремам № 18 и 19 подробно проанализи&рованы те принципы, на которых базируются индуктивные дока&зательства Р. Грассмана. Здесь мы хотим лишь кое-что напом&нить, да и дополнить сказанное там.

Теорема 18 доказывается следующим образом. Дано F(a{) = и [F(a,) = ,)] = [F(ax) = ft(a,)]; тогда - здесь Р. Грассман ссылается на определение № 2 - в качестве заключения получаем F(a2) = g(a2); но нам дано и то, что \F{a2) = %(а2)] = [F(a3) = значит, рассуждая аналогично, имеем F(a3) = и т.д., пока не получим в качестве заключения, что F(an) = ап), при произволь&ном целом положительном п.

Как видим, в этом доказательстве, в отличие от доказательст&ва предшествующей теоремы, фигурируют два разных отноше&ния равенства - для величин и для равенств величин, и только с учетом этого может быть внесена ясность в грассмановскую ссылку на № 2, а также, если привлечь словесное рассуждение Р. Грассмана, долженствующее пояснить описанное выше «фор&мульное доказательство», - в смысл отсылки на теорему № 17 (ср. сказанное выше о распространении названной теоремы на отно&шение равносильности равенств и предпринятый нами в предше&ствующем разделе данной статьи анализ грассмановского доказа&тельства теоремы № 22). Если разъяснения Р.

Грассмана не столько поясняют, сколько запутывают суть дела из-за смешения разных отношений равенства, то конкретные применения разре&шенного теоремой способа доказательства вполне проясняют ее смысл: он заключается в обосновании индуктивного доказатель&ства, предполагающего базис индукции, индуктивный переход и обобщающее заключение.

Как явствует из доказательства теоремы 18, оно обосновыва&ет обобщение только для конечных последовательностей. При доказательстве же свойств произвольных величин, когда требует&ся выход за рамки конечного, «теорема 18» становится недоказу- емой - переходит в постулируемый принцип индукции (чего Р. Грассман не оговаривает).

В самом деле. Рассмотрим в качестве примера поступатель&ное доказательство теоремы 25 («закона объединения, или ско&бочного закона»), гласящей, что в любой связи, для которой выполняется свойство ассоциативности, любую скобку можно как ввести, так и удалить[226]. Доказательство этой теоремы, по Р. Грассману, является поступательным (индуктивным) относи&тельно G, пЬ в выражении a oG, пЬь = д оЬ2 о... obn)61.

Требуется доказать, что для любого п:

а о (&! о Ьг о ... о Ьп) - а о Ь{ о Ь2 о ... о bn.              (I)

Индукция ведется по длине п результата «последовательного связывания» G, А> начиная с п = 2. Формулируется и доказыва&ется базис индукции: (1°) равенство (1) справедливо для случая w = 2, ибо тогда (I) переходит в равенство а о (/>, о Ь2) = а о Ьх о Ьъ верное в силу ранее доказанной в теоремы 24 (о ней еще пойдет речь). Индуктивный переход: (2°) путь равенство (I) верно для какой-то целостности G, пЬь\ тогда можно показать, что оно вер&но и для целостности G, П+,6Ь; ибо

я о (Git „+ А) = а о (GIt А о Ьп+{)              (согласно 10Ь)

= (а о Gu А) о Ъп+1              (согласно 24);

здесь 10Ь есть приводившаяся уже нами теорема, выражающая свойство последовательного связывания величин. Следователь&но: (3°) согласно теореме № 18 равенство (I) общезначимо.

Это доказательство опирается на теорему № 24 - на закон ас&социативности ao(6oc) = aoftoc, обоснование которого ведет&ся «для штифтов»: оно, как говорит Р. Грассман, является элемен&тарным (основным) доказательством относительно с. Обоснова&ние соответствующего способа доказывания составляет содержа- ние теоремы № 19, самой важной теоремы теории доказательств «учения о величинах». Вот ее формулировка и обоснование:

Каждое равенство учения о формах, которое справедливо для одного штифта, или элемента, и которое таково, что, если оно справедливо для произвольной величины, то оно справедливо и для всякой величины, кото&рая содержит одним элементом больше, справедливо для всех величин, строящихся посредством последовательного связывания.

Доказательство получается непосредственно из № 18, если в качестве первой величины взять данный элемент, а в качестве непосредственно следующей величины последовательности каждый раз брать величину, содержащую одним элементом больше.

В формулировке этой теоремы речь идет о «равенствах», но на самом деле - это становится ясным уже из ее применения к до&казательству теоремы № 23 - имеются в виду вообще высказыва&ния, касающиеся величин и элементов. Хотя Р. Грассман и пишет, что обоснование этой теоремы получается непосредственно на основании предшествующей, это не совсем так. Специфика дока&зательства теоремы № 19, вводящей метод доказывания, кото&рый - вместе с рекурсиями, о которых мы будем говорить в сле&дующем разделе этой статьи, - лежит по существу в основе всей «конструкции» теории величин и состоит в том, что подразуме&ваемая в нем последовательность величин ah <я2,..ап рассматри&вается построенной путем последовательного связывания (про&извольных) элементарных величин, начиная с величины аи представляющей собой элемент: таким образом, упомянутая по&следовательность оказывается упорядоченной по длине п, выра&жающей число последовательно связанных элементов, начиная с п = 1 (или по длине к = п - 1 числа последовательных применений операции о, включая «пустое» применение). То, что каждую вели&чину можно представить в виде целостности, являющейся резуль&татом последовательного связывания элементов, становится обоснованным после доказательства теорем №№ 23, 24, а что от&ношение равенства двух произвольных величин всегда сводимо к отношению графического равенства такого рода целостностей, - после доказательства теоремы № 28, говорящей о коммутативно&сти бинарной операции в применении к элементарным величинам.

Как и теорема № 18, теорема о «доказательстве для штиф&тов» (элементов) обосновывает определенную индуктивную процедуру. Так, доказательство теоремы № 24, осуществляемое «для штифтов», имеет следующий вид. Индукция проводится, говоря современным языком, по длине величины с, в только что разъясненном смысле понятия длины (Р. Грассман, как мы

уже упоминали, говорит, что это «элементарное доказательст&во относительно с»). Базис индукции (пункт 1 доказательства) соответствует случаю а = е, когда доказываемое равенство пе&реходит в равенство а о (Ь о е) = а о Ъ о е, которое перед этим (№№ 21, 22) было принято в качестве определения связи вели&чин, названной Р. Грассманом «объединением» (см. следующий раздел данной статьи). Индуктивный переход, с логической точки зрения целиком построенный на правиле замены рав ным, имеет вид:

2. Если это равенство справедливо для величины с (допущение), то оно справедливо также и для величины с О е, которая содержит одним элемен&том больше (заключение); ибо

ao[bo(coe)] = ao[bocoe]

= а о [Ь о с\ о е -aobocoe = а о b о (с о е)

(согласно 22) (согласно 22)

(согласно допущению) (согласно 22).

3. Стало быть, данное предложение, в соответствии с№ 19, общезначи&мо для всех величин.

Как мы уже говорили, во всех индуктивных доказательствах теории величин - «поступательных» для величин и «элементар&ных» для штифтов - в качестве пункта 1 фигурирует базис индук&ции, в качестве пункта 2 - индуктивный переход, а в качестве пун&кта 3 - констатация общезначимости доказываемого равенства; выписываемый справа от преобразуемых равенств «анализ дока&зательства» отличается от аналогичного анализа в книге Г. Грасс&мана 1861-1862 гг. лишь тем, что включает, хотя и опосредованно, через ранее доказанные теоремы, ссылки на свойства отношения равенства величин либо на его определение. В иных случаях Р. Грассман позволяет себе не воспроизводить полностью того или иного индуктивного доказательства, ограничиваясь поясне&нием его общего хода или приведением примера.

Изучение «Учения о величинах» 1872 г. показывает, что все доказательства равенств, имеющиеся в этом труде, в конечном счете сводятся либо к свойствам отношения равенства, либо к индукции «для штифтов», т.е. ведутся по (штифтовой) длине выделенной в индукции величины на основе предварительно введенной рекурсивной процедуры. При этом, однако, в отли&чие от грассмановской арифметики, где индукция осуществля&лась по «основной последовательности» (а с определенного мо&мента - по целым числам) в двух «направлениях», обусловлен&ных наличием противоположных «единичностей», положитель-

ной и отрицательной, индукция в общей теории величин (но не в ее продолжениях, каковыми являются четыре ветви «теории форм») всегда «однонаправлена», но зато предполагает, в об&щем случае, неограниченно много попарно различных «элемен&тов», природа которых, однако, не принимается в расчет в поня&тии длины выделенной в индукции величины. Очевидно, что многообразие допускаемых к рассмотрению элементарных ве&личин не препятствует тому, что и в «учении о величинах», как ранее в грассмановской арифметике, отношение равенства (и отношение различия) между величинами сводится, как мы не&однократно говорили, к отношению графического равенства (равнозвучности, т.е. совпадения по написанию) либо графиче&ского же различия величин (формул), в которых явно выписа&ны все их элементы.

В связи с подходом Роберта (и Германа) Грассмана к индук&тивным доказательствам естественно возникает следующий во&прос. Известно, что в последующем развитии математики и ло&гики процедура «совершенной» (полной математической) ин&дукции стала, как правило, задаваться с помощью аксиомы (схе&мы аксиом) или (недоказуемого) принципа (правила); во всяком случае, такой подход получил распространение после формули&ровки Дж. Пеано системы аксиом арифметики натуральных чи&сел, названной его именем. Но Р. Грассман - так же как и Р. Де- декинд (см. его «Теорему о полной индукции» за номером 59 в труде 1888 г.) - правомерность такого рода процедуры доказы&вали. Нетрудно убедиться в том, что подход этот соответствует тому, что позже, уже в XX веке, получило название финитной точки зрения. Чтобы у читателя здесь не осталось сомнений, приведем формулировку упомянутой точки зрения в труде Д. Гильберта и П. Бернайса, где она именуется также «элемен&тарной точкой зрения» (ср. грассмановское «элементарное дока&зательство для штифтов»!). Дабы сделать понятной приводи&мую ниже цитату из упомянутого труда, отметим, что в рамках излагаемого в нем «финитного способа рассуждений» целые по&ложительные числа отождествляются с «цифрами» вида 1, И, 111, и т.д., а равенство чисел сводится - как много раньше пред&ложили поступать Грассманы! - к графическому равенству «цифр». Способ умозаключения по методу полной индукции трактуется в этом случае так.

Допустим, что мы рассматриваем некоторое высказывание, относяще&еся к произвольной цифре и имеющее элементарно наглядное содержание.

Пусть это высказывание верно для цифры 1, и пусть известно также, что

всякий раз, когда оно верно для какой-то цифры п, оно верно и для цифры п + 1. Тогда отсюда мы делаем вывод, что рассматриваемое высказывание верно для любой заданной цифры П.

Действительно, а строится, начиная с цифры 1, путем ряда последо&вательных присоединений этой цифры. Раз мы констатировали, что рас&сматриваемое высказывание верно для цифры 1 и что при каждом при&соединении этой цифры оно, в силу сделанного предположения, оказы&вается верным и для вновь полученной цифры, то в момент завершения построения а мы придем к выводу о том, что это высказывание верно и для а.

Таким образом, мы имеем здесь дело не с каким-либо самостоятель&ным принципом, а лишь с некоторым следствием, извлекаемым нами из того факта, что построение цифр производится определенным кон&кретным способом[227].

Ясно, что это полностью соответствует подходу братьев Грассманов к основаниям математики. В «учении о величинах», правда, вместо «цифр», построенных из единственного знака 1, фигурируют «величины» (формулы), построенные из элемен&тарных величин - «штифтов», а «определенный конкретный способ построения» заключается в последовательном связыва&нии величин, которое в конечном счете сводится к последова&тельному связыванию элементарных величин, связыванию, производимому с помощью операции о (или некоторых других бинарных операций, которые появляются в последующем раз&вертывании теории); высказывания же, имеющие «элементар&но наглядное содержание», представляют собой в теории Р. Грассмана высказывания о величинах, преимущественно в форме равенств. Поэтому-то оба положения, вводящие индук&тивные доказательства (№№ 18, 19), которые при ином подходе (когда предварительно введена аксиома либо принцип индук&ции) сами могли быть доказаны индуктивно, основываются просто на принятом способе конструирования величин. Анало&гично обстоит дело и с теоремой № 17. Ее, конечно, тоже мож&но доказать по индукции, но Р. Грассман этого не делает: он ба&зирует доказательство на возможности обозрения любого ко&нечного ряда величин аи              ап ПРИ произвольном целом по&ложительном п.