МЕТОДОЛОГИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ РЕКУРСИВНОГО ПОСТРОЕНИЯ БРАТЬЕВ ГРАССМАНОВ
Нет спору, «проработка» оснований математики, предприня&тая Р. Дедекиндом и Дж. Пеано (в избранных ими «стилях») от&личалась существенно большей глубиной и тщательностью, не&жели грассмановская. Это особенно касается Пеано, аксиомати&ка арифметики которого строилась уже на базе формализован&ной логики. Но не надо забывать, что исследования этих матема&тиков принадлежат уже другой исторической эпохе. Поэтому нет оснований для умаления значимости работ Грассманов, ра&бот, созданных много раньше. Подобное умаление идет вразрез с подлинным историческим ходом уяснения природы дедуктив&ных теорий. Во-первых, здесь полностью выпадает важнейший факт: систематическое использование братьями Грассманами рекурсивных определений как средства введения операций (функций) над элементами о.п., частным случаем которой оказы&вается кольцо целых чисел. Между тем используемые ими опре&деления сложения, умножения и возведения в степень естествен&ным образом подпадают под хорошо известную ныне схему при&митивной рекурсии5Ь. Во-вторых, в труде Грассманов вполне до&стигалась «ясность определения» принципа полной индукции - за счет четкого представления конкретных индуктивных доказа&тельств. Формулировка же этого принципа в виде аксиомы у них отсутствует не случайно, так как, с одной стороны, они, как мы видели, вообще отвергали в математике аксиомы, а с другой сто- роны, и не нуждались в аксиоматической формулировке упомя&нутого принципа, так как, строя арифметику рекурсивно, приме&няли принцип индукции в качестве правила вывода.
Впоследст&вии Р. Грассман (1872 г.) в своем «учении о величинах» явно сформулировал его в качестве правила доказательства, опираясь на предварительно введенное понятие последовательности вели&чин[217]; здесь мы находим рассуждение, сходное с тем, которое по аналогичному поводу было проведено - исходя из интуиционист&ских установок - А. Гейтингом в его книге «Интуиционизм» (1956)[218]. В-третьих, в построении Грассманов предусматривались все свойства натурального ряда, как они позднее, через три де&сятилетия, были сформулированы в аксиоматиках Дедекинда и Пеано. Относительно «аксиомы полной индукции» это мы уже отметили. Остаются первые четыре аксиомы. Если рассмотреть «положительную» часть о.п., то эти аксиомы окажутся непосред&ственно содержащимися в определении этой последовательности (при установлении данного факта следует иметь в виду, что отно&шения равенства и порядка для членов о.п. как слов в определен&ном алфавите сводятся в конечном счете к их графической оди&наковости либо неодинаковости). На это можно возразить, что «аксиом Пеано» у Грассманов все же не было. Это, безусловно, так, но суть дела в том, что они были им принципиально не нуж&ны: конструктивистский подход братьев делал эти аксиомы три&виальным следствием процесса порождения членов о.п.; братья Грассманы, правда, не проводили соответствующих рассуждений (если не считать таковыми постоянные подчеркивания «одно&значности» задания величин), однако если бы им задали соответ&ствующий вопрос, они, скорее всего, высказали бы нечто анало&гичное тому, что много позже было сказано по данному поводу А. Гейтингом[219].Конечно, рекурсивно-конструктивистская установка братьев Грассманов не могла распространяться на всю их «Арифмети&ку» - хотя бы потому, что в ней рассматривалась теория действи&тельных чисел и «мнимых» величин (imaginare Grossen), о конст&руктивном представлении которой в то время не могло быть и ре&чи. Однако если говорить об арифметике целых чисел, то ее по&строение в работе 1860-1861 гг.
следует считать историческим предшественником возникшей много позже рекурсивной арифме&тики Сколема. И то, что современники не поняли подхода Грасс&манов - подхода, который Т. Сколем в фундаментальной работе 1923 г.[220], положившей начало одной из ветвей конструктивной математики, назвал рекурсивным способом мышления», - было вполне понятно. Ведь сколемовское исследование, в котором ме&тод рекурсивных определений арифметических функций (и пре&дикатов) и индуктивных доказательств, трактуемый в качестве единственного, если не говорить о явных определениях, средства введения новых объектов теории и обоснования их свойств, полу&чил систематическое развитие - при использовании естественных (и не оговаривавшихся Сколемом) свойств отношения равенства и логических средств, ограниченных, по существу, пропозицио&нальными связками, - было обусловлено задачей преодоления трудностей, вызванных антиномиями логики и теории множеств, открытыми в конце XIX - начале XX века, трудностей, о которых во времена Грассманов философы, логики и математики еще не подозревали.Разумеется, исследование Т. Сколема ставило перед собой го&раздо более серьезные задачи, нежели грассмановский «Учебник арифметики», задачи, о которых мы здесь не будем говорить. Оно было осуществлено после появления знаменитого труда А.Н. Уайтхеда и Б. Рассела Principia mathematica и навеяно неко&торыми идеями этого труда; в нем существенно использовался ло&гический формализм, чего у Грассманов, как мы видели, не было. Но то, что Сколем назвал «рекуррентным способом мышления» - использование функции взятия «непосредственно следующего» числа в натуральном ряду, рекурсивных (Сколем говорил: рекур&рентных) определений и индуктивных (рекуррентных - в сколе- мовской терминологии) доказательств, - у Грассманов было.
Неудивительно поэтому, что сколемовское построение арифме&тики (Сколем ограничивался арифметикой целых положитель&ных чисел), по крайней мере в его начальных разделах, так напо&минает - и своими определениями (сколемовское задание опера&ции умножения, например, в точности совпадает с грассманов- ским), и своими доказательствами - соответствующие параграфы книги 1861/1862 г.
Г. Грассмана. Братья Грассманы стоят у исто&ков «рекурсивного способа мышления», вылившегося в совре&менную теорию рекурсивных функций и то ответвление матема&тического конструктивизма, которое ныне называют рекурсив&ным математическим анализом.В свое время (1966 г.), анализируя математические идеи Р. Де&карта, С.Я. Яновская писала, что «пока еще не было электронно- вычислительных машин, которые должны выполнять и некото&рые логические выводы, не было и подлинной нужды строить эти выводы в точности по формальным правилам какого-нибудь ло&гического исчисления»[221]. Тем более ценными представляются труды тех ученых - и в их числе работы братьев Грассманов, - в которых еще в докибернетическую эпоху закладывались основы аппарата «формальных правил», включая рекурсивную арифме&тику и формализованную логику.
Описанная нами конструктивистская концепция Г. и Р. Грассманов нашла дальнейшее обоснование в «учении о вели&чинах» младшего брата, - учении, к которому мы теперь и пере&ходим.