РЕКУРСИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ В ТЕОРИИ ВЕЛИЧИН. СВОЙСТВА АССОЦИАТИВНОСТИ, КОММУТАТИВНОСТИ И ДИСТРИБУТИВНОСТИ.

В равенствах № 32 - первое из них мы будем обозначать че&рез 32а, а второе через 32Ь - пропуск знака (пропуск, вместо ко&торого в дальнейшем иногда используется обычный знак умно&жения « • ») означает операцию «отношения», а сами эти форму&лы получают название «законов отношения» или «законов удале&ния скобки»; во второй части «Учения о величинах» 1872 года, а также в труде 1890 г. «Система знания» эта операция получает название умножения. «Отношение» предполагает две бинарные ассоциативные операции, т.е. два «объединения»; для обозначе&ния одного из них применяется уже известный нам знак о, для дру- гого же используется новый знак о; когда две величины связаны с помощью первой из этих ассоциативных операций, Р.

Грассман условливается говорить, что соответствующие величины «перво- объединены» (erstgeeint), а когда с помощью второй - операции о, - что они «второобъединены» (zweigeeint). Операция «отноше&ния» трактуется Р. Грассманом как связь более высокого уровня, чем связь объединения; ее результат, т.е. «изделие», в скобки не заключается. На современном логико-алгебраическом языке это можно выразить, сказав, что «отношение» связывает величины более тесно, чем операция «объединения». Скобка, фигурирую&щая в формулах вида (а о Ь)с, получает в теории величин название скобки для отношения.

Пункт № 32 предваряется текстом, который весьма примеча&телен для изложения теории величин 1872 г.; с ним связано пер&вое из затруднений, которые были упомянуты нами выше. Мы чи&таем у Р. Грассмана:

Для обеих величин, подлежащих связыванию посредством отношения (zu beziehenden), могут действовать различные виды отношения и, соответ&ственно, различные виды объединения. Сообразно этому для каждого из обоих отношений мы различаем два вида объединения и называем их, если они встречаются вместе (bei) с одним и тем же отношением, соответствую&щими (там же).

Из сказанного здесь как будто следует, что в теории величин предлагается различать два вида «отношения», т.е. две - в общем случае разные - операции, задаваемые равенствами № 32. Как это понимать? Поначалу напрашивается мысль, что одна из двух операций «отношения» вводится равенством № 32а, а другая - ра&венством № 32Ь, т.е. что мы имеем здесь дело, говоря языком со&временной алгебры, с левым и правым «отношениями». Однако это предположение приходится отбросить.

В самом деле. Рассмотрим следующий пример. Пусть с = et ое7 ое?, d = ed о Єс о е.. Попытаемся вычислить «изделие»

Df              Df              °

cdy понимая «отношение» как левую операцию (№ 32а). Положив

а = ех ое2, в силу чего с = а о получаем: cd = (a о е^)(еА о е5 о е6) = Of

= а(е4 о е5 о е6) о ег(еА оеъо е6).

Но - и в этом заключается первая трудность - дальнейшее вычисление оказывается невозможным: для него отсутствует надлежащая вычислительная схема. Чтобы продолжить процесс раскрытия скобок - он представляет собой, как мы увидим ниже, рекурсивную процедуру, - необходимо ис&пользовать равенство № 32Ь, т.е. считать «объединение» уже пра- вой операцией. Действительно, положив Ь = еА ое5, откуда d =

= b о еь, имеем: а(Ь о е6) = ab о аеь = (ех о е2)Ь о (е1 о е2)еь\ поскольку (ех о е2)е6 = ехе6 о ((согласно 32Ь), получаем: аф о е6) = = (ех о 0 е\е6 ° Для вычисления значения величины аф о еь) приходится снова обращаться к равенству № 32Ь. Продол&жая этот процесс, мы в конце концов получим: cd =

О ехе5 О €х€ь О е2е4 О ° G еЪе4 ° ° е3€6- Итак, МЫ ПрИ-

шли к тому, что «отношение» приходится трактовать то в качест&ве левой, то в качестве правой операции, что нельзя понять ина&че, как свидетельство того, что в равенствах (уравнениях) 32а и 32Ь подразумевается одна и та же операция. В последующем раз&вертывании теории величин 1872 года эта трудность снимается тем, что когда (во второй части этого труда в «Логике») речь вме&сто «отношения» заходит об умножении, последнее фигурирует уже в единственном «экземпляре»: в трудах же 1890 года «Учение о мышлении» (составляющем вторую половину тома I «Системы знания») и «Логика» вообще нет упоминания двух операций типа умножения: «переплетение» с самого начала вводится как одна операция.

Прежде чем переходить ко второй трудности, остановимся на тех теоремах, которые в теории величин доказываются для «изделий». Назначение этих теорем - сведение произвольной целостности, построенной с помощью операций «объединения» и «отношения», к целостности, которая приведена, как сказали бы мы теперь, к нормальной форме, представляющей собой резуль&тат последовательного связывания элементарных величин с по&мощью ассоциативной операции; как мы видели выше, каждую целостность, образованную посредством применения единствен&ной операции такого рода, можно привести к этой нормальной форме.

В соответствии с этим Р. Грассман доказывает теорему (№ 33), согласно которой «изделие» аеу состоящее из одной вели&чины, элементы которой связаны последовательно, и еще одной элементарной величины, в свою очередь является величиной, элементы которой связаны последовательно.

Доказательство для штифтов, или элементов, относительно а.

1. Данное предложение справедливо, если а содержит только один эле&мент (т.е. если а есть величина вида ехе2. - Б.Б.), ибо ехе2 есть некоторый элемент (в соответствии с 31.1).
2. Если это предложение справедливо для а (допущение), то оно спра&ведливо и для величины а О ех, которая содержит одним элементом больше (заключение); ибо имеет силу (а О ех)е = ае О ехе (в соответствии с № 32). Но ае есть величина, элементы которой связаны последовательно согласно допущению, • е есть некоторая элементарная величина (в соответствии с 31.1), связанная последовательно, стало быть, ае О ехе есть тоже некоторая величина, элементы которой связаны последовательно.

3. Стало быть, в силу № 19 данное предложение общезначимо.

Таким же путем выводится, что еЬ есть некоторая величина, элементы которой связаны последовательно.

Далее, индукцией для элементов доказывается (№ 34), что «изделие» ab, состоящее из двух величин, элементы которых свя&заны последовательно, в свою очередь есть некоторая величина, элементарные величины которой связаны последовательно, и для такого рода «изделия» - это Р. Грассман оговаривает особо - вы&полняются все законы объединения. За этим следует важная тео&рема № 35: (а о Ь)с = ас о Ьс\ с(а о Ь) = са о cb, вводящая то, что можно назвать обобщенной дистрибутивностью операции «от&ношения» к операции «объединения»; обобщенность состоит в различии операций объединения о и о, фигурирующих в левой и правой частях каждого из равенств. Операцию «отношения», для которой действует дистрибутивность, предполагающая как «пер- во-», так и «второобъединение», Р. Грассман называет «двойным отношением»; если операция объединения в левой и правой час&тях равенств (уравнений) 32а и 32Ь одинакова, он использует на&звание «простое отношение». Для последней «закон отношения», т.е. дистрибутивности, приобретает обычный вид: (а о Ь)с = ас о Ьс\ с(а о Ь) = са о cb. Стоит отметить, что при индуктивном - для элементарных величин - доказательстве равенств, фигури&рующих в теореме 32, используется ассоциативность операции о. Затем Р. Грассман доказывает теорему (№ 36) о дистрибутивно&сти операции «отношения» относительно целостности, образо&ванной путем последовательного «объединения» сколь угодно многих величин, что записывается им в виде: [Gu п о аа]Ь = G, п о aab; b[G{ noaa] = Glno baa; эти равенства имеют, соответ&ственно, смысл: (я, о а2 о ... о ап)Ь = ахЬ о а2Ь о ... апЬ и Ь{ах о а2 о ... о ап) = Ьа{ о Ьа2 о ... о Ьап. Наконец, следует важная теорема

37. В любой связи величин, для которой выполняется отношение, вме&сто штифтов, или элементов, можно подставлять любые построенные из них величины и таким способом получать новые величины; для этих вели&чин тоже будут справедливы все законы отношения.

Доказательство. Все законы отношения выводимы из основной фор&мулы объединения аО(ЬОе) = аОЬОен аналогичных формул для отно&шения (а О е)с = ас О ее и а(Ь О е) = ab О ае, но эти формулы в соответствии с №№ 24 и 35 справедливы и для произвольных величин (а не только для элементов. - Б.Б.), стало быть, и т.д.

Из этой теоремы вытекает, что множество величин замкнуто относительно операции отношения. Однако в теории величин 1872 г. это порождает новую трудность. Дело в том, что посколь&ку изделие, состоящее из элементов, есть в свою очередь эле&мент, изделие из величин есть в свою очередь величина, а объе&динение величин (также порождающее величины) возможно не только с помощью операции о, но и с помощью операции о, кото&рая подобно операции о обладает свойством ассоциативности, мы оказываемся перед фактом следующего расширения понятий элемента и величины (формулы). В сформулированное нами оп&ределение элемента, или штифта, добавляется пункт: (3) если ех и е} суть произвольные элементы (штифты), ТО efij тоже есть некий (сложный) штифт (в тексте Р. Грассмана этому пункту соответст&вует запись ехе2 = е), а в определение величины (формулы), в пункт (3) вводится указание на то, что если а и b суть произволь&ные величины, то (а) о (Ъ) и (а)(Ь) тоже суть некоторые величины (с распространением на получаемые таким путем целостности то&го соглашения, которое в пункте (3) было помещено в скобках).

Это расширение понятия величины (формулы) допускает рас&смотрение в качестве величин таких образований, в которых встречаются знаки о, и о. Но как тогда понимать выражения вида (а о Ь) о d или (а о Ь) о (d о с о/)? И как определять значение об&разований вида (а о Ь)с и аф о с), являющихся величинами в силу № 37? Эти вопросы в труде «Учение о протяженностях» 1872 г. не поднимаются.

Прежде чем показать, как Р. Грассман обходит эту трудность, выясним вид рекурсии, подразумеваемой в № 32. Обозначив би&нарную операцию «отношения» - подлежащую определению - через /, операцию «объединения» о через g и считая, что рекур&сия ведется по двум переменным (двойная рекурсия), мы получа&ем возможность переписать 32а и 32Ь в виде: (1 )Да\ b) = g(f(ar />), f(eitb)) и(2)              =              а'^о^, b' = b оер a

Of              Of

g есть заданная операция. Если b есть произвольный элемент е, то из (1) можно извлечь:

Аа\е) = 8(Ла,е)Ле,е)).              (I)

Если величина b не есть элемент, то она имеет вид: Ь' = с о е.; = с'.

of J

Тогда (1) переходит в равенство (3)/(я\ с') = g(f(at c'\f(eif с')). Величина /(я, с') может быть вычислена, исходя из (2), если вме&сто b взять с: (4) Да, с') = g(J{af c)J(a, е,)). Подставив правую часть равенства (4) в равенство (3) вместо фигурирующей в нем величи&ны Да, с'), получим: (6)Да', с') = g(g(a, с), Дя, е})\ fiej9 с')). Величи&на с') находится из (2):

Aei9c') = gtfei9c\j{el9e$.              (II)

Подставляя найденное значение величины Де„ с') в правую часть равенства (6), получаем:

Аа\ с') = g(g(af с), Да, е,)), g(f(eit с), Де,, е,)))              (III)

для любых величин а и с. Наконец, очевидно, что для произволь&ных элементов е, и е-.

А€і> е) = efip              (IV)

где efij есть штифт, т.е. некоторый элемент Єі.

Равенства (I)-(IV) задают рекурсивную процедуру вычисле&ния значения произвольного изделия аЬу сводящую последнее к виду многочлена, в котором роль сложения играет операция о, а умножения - операция «отношения», иначе говоря, к виду е] о е2 о ... о ею где элемент ет (при г = 1, 2,..., п) могут быть слож&ными, т.е. представлять собой изделия, построенные из элемен&тарных величин[230]. Предоставляем читателю убедиться в этом на примере, который был рассмотрен нами выше; обращаем внима&ние на то, что при вычислении, на основе равенств (точнее, схем равенств) (I)—(IV), изделия cd приходится использовать все эти ра&венства.

В изделии, фигурировавшем в примере, рассмотренном нами выше, мы имели дело с величинами, представлявшими собой це&лостности, построенные из элементов путем последовательного связывания с помощью операции о. Однако это не ограничивает общности рассмотрений. Показанная в теории величин возмож&ность приведения любой величины, построенной из элементов и вообще произвольных величин, к (равной) величине, представля&ющей собой целостность, образованную путем последовательно&го связывания с помощью операции о, приводит - и об этом, соб&ственно, говорят все теоремы раздела 6, обоснованные на основе № 32 и позволяющие раскрывать скобки не только «для объеди&нения», но и «для отношения», - к заключению, что совершаемая на базе № 32 (и соответственно, на базе равенств (I)—(IV)) рекур&сия всегда сводит определяемое изделие к многочлену указанно&го выше вида. При этом, однако, предполагается, что в изделии ab величины а и b не содержат операции о, ибо в противном случае при раскрытии скобок обязательно возникнет ситуация, когда на&до будет вычислять изделия вида (с о d)x или х(с о d). Но вопрос, как производить подобное вычисление, как вообще осуществлять рекурсию, когда в величинах а, Ъ содержатся две ассоциативные бинарные операции, в теории величин не обсуждается. Р. Грасс&ман просто снимает его тем, что начиная с теоремы № 39 - ей предшествует определение (№ 38) упоминавшихся уже нами поня&тий простого и двойного отношений - операции о и о отождест&вляются. В результате доказываемый вслед за тем «закон просто&го отношения» (№ 39) (G{ naa)(G{pb) = Gln. i,mtfcA» гДе индексы а и b пробегают соответственно, наборы чисел от 1 до п и от 1 до т, а также аналогичный закон (№ 40) для произвольного числа членов изделия, стоящих в левой части соответствующего равен&ства (эта теорема доказывается для частного случая трех целост- ностей G{ л, GUm, Glp) позволяет путем заложенной в № 32 рекур&сии сводить любую величину к многочлену, построенному из эле&ментарных величин, связанных с помощью операции о. Тогда во&прос о равенстве двух произвольных величин а и Ъ, в которых имеются только две операции - «объединения» и «отношения», оказывается сводимым к графическому равенству многочленов упомянутого вида, равных соответственно величинам а и Ь.

Как же тогда следует понимать теоремы №№ 33-37? Считать, что их надлежит переписать, отождествив о и о? Такое решение было принято Р. Грассманом при изложении переработанного и расширенного варианта его теории величин в труде 1890 г., где операция «отношения» (называемая там с самого начала умноже&нием) единственна и ее определение имеет вид: a{b + е) = ab + ае\ (а + e)b = ab + eb[231]. Иной путь: расширение определения операции «отношения» путем дополнения равенств № 32 пунктами 32'а и 32'Ь, получающимися из равенств 32а и 32Ь посредством обмена местами знаков о и о, требует некоторого усиления системы этих равенств, поскольку уже вычисление значения «изделия» вида (е, о ej)(ek о е,), где eit Єр ек, et суть произвольные элементы, оказы&вается зависящим от порядка применения пунктов 32а и 32'Ь и потому неоднозначным; такое усиление может быть достигнуто заменой в равенствах 32Ь и 32'Ь произвольной величины а произ- вольным элементом е (заметим, что подобная замена, проведен&ная только для системы равенств 32а и 32Ь, не нарушает рекур&сивную процедуру определения «отношения», проанализирован&ную нами выше, хотя и меняет несколько ее вид). Поскольку Р. Грассман не вступил на этот путь, мы позволим себе не остана&вливаться здесь подробнее на этом вопросе.

Коротко о второй части «Учения о величинах» 1872 г. - раз&делах 7-9. Здесь происходит конкретизация операций, введенных в первой части, и расположение возникающих в результате этого «связей» по трем уровням. Операция, обладающая только свойст&вом ассоциативности, получает здесь название сложения (в ши&роком смысле), или - в специфически грассмановской терминоло&гии - «прибавления» (Fugung), ее результат - наименование сум- мы у а для ее обозначения используется обычный знак «плюс»; введение для сложения свойства коммутативности - так, как это было описано нами выше для «объединения», - дает сложе&ние в узком смысле (добавление», Zufiigung). Вводится величина, называемая нулем и характеризующаяся (№ 43) тем, что а + 0 = а, О + а = а, для любого а. Сложение есть связь «низшего уровня», и штифты (элементы), величины, строящиеся из элементов путем последовательного прибавления, а также нуль называются штифтовыми (элементарными) величинами (Stiftgrosen, Elementargosen); это не что иное, как многочлены.

Операция, обладающая свойствами «простого отношения», называется умножением в широком смысле (или «переплетени&ем», Webung): она считается относящейся ко второму уровню, и для нее вводится как обычная мультипликативная, так и специ&фически грассмановская терминология: если умножение ассоциа&тивно, оно называется «вплетением», или умножением в среднем смысле, если же оно, кроме того, и коммутативно, то оно имену&ется «сплетением», или умножением в узком смысле. Для опера&ции умножения в широком смысле доказываются теоремы, в ко&торых фигурирует величина, называемая единицей (eins), и «закон переплетения (умножения в широком смысле)». Единица вводится как такая величина, которая, будучи «переплетена» с любым эле&ментом еу не меняет значения последнего: е • 1 = е, 1 • е = е, 1 • 1 = 1; на этой основе индуктивно обосновывается теорема (№ 51), сог&ласно которой а • 1 = 1 • а = а. В теореме № 52 доказывается - в качестве упомянутого «закона переплетения» - приводимость любой формулы, содержащей операций сложения и умножения, к виду элементарной величины, а в следующей за ней теореме обосновывается, что 0а = 0иа-0 = 0. Затем для операции ум- ножения вводится - определение № 55 - свойство ассоциативно&сти для элементов, и тогда умножение получает название «умно&жения в среднем смысле». Определение этого рода умножения е}(е2е2) = ехе2еъ можно рассматривать как его рекурсивное зада&ние, в предположении, что запись ехе2еъ читается по ассоциатив&ности влево и что произведение двух произвольных элементов в свою очередь есть некоторый элемент. На основе этого опреде&ления строятся индуктивные доказательства (№№ 56, 57) теорем = аехе2 и афс) = аЪс (последняя выражает свойство ассоци&ативности умножения) и «закона вплетения» (№ 58), утверждаю&щего приводимость любой величины, в которой последней опера&цией является умножение в среднем смысле, к виду многочлена (штифтовой величине).

Связью наивысшего - третьего - уровня является в теории ве&личин возведение в степень, или «возвышение» (Hohung). Эта связь также определяется рекурсивно, с помощью равенства (№ 62) аь+е = аь • аеу в предположении - в качестве «конечного пун&кта» рекурсии, что даны результаты возведения произвольных ве&личин в «штучную степень»; затем следует доказательство того, что ах = а, Iі = 1 и о0 = 1, а также того, что аь+с = аь - ас (и анало&гичная теорема для любого числа слагаемых в показателе степе&ни). Неясность смысла величины вида ае, имеющая при этом мес&то, отчасти снимается тем, что Р. Грассман предусматривает слу&чай, когда в показателе степени в качестве элемента фигурирует единица. Грассмановская операция «возвышения» приобретает интерес в связи с последующим разветвлением теории величин. Однако рассмотрение этого вопроса не входит в нашу задачу.