КОНСТРУКТИВИСТСКИЙ ПАФОС КОНЦЕПЦИИ РОБЕРТА ГРАССМАНА
Доказательства, основанные на свойствах «связи равенства», и «поступательные» доказательства, по Р.
Грассману, есть единст&венно то, что относится к общему учению о формах: непрямые, или косвенные, доказательства, указывает он, появляются лишь в «учении о понятиях»; подобные доказательства часто использу&ются в разветвлениях теории, форм и «в приложениях учения о формах, особенно в учении о пространстве».В связи с типами доказательств, применяющихся в общем уче&нии о величинах, - тождественными преобразованиями и «посту&пательными» выводами, а также рекурсивными процедурами - Р. Грассман высказывает следующий взгляд на определения. Он пользуется примером «связи объединения». Если, пишет он, вве&сти объединение как такую связь величин, при которой каждая скобка может быть как угодно поставлена или удалена (т.е., пере&ходя на современный язык, если по определению объявить объе&динение ассоциативной операцией), то получится слишком широ&кое - и потому «ненаучное» - определение, поскольку тогда скрытым останется то, что данное свойство можно вывести из го&раздо более узкого определения; при слишком широком опреде&лении невозможно установление того, каково же то предположе&ние, которое необходимо для того, чтобы выполнялся «закон объединения» в целом. Согласно Р. Грассману. «хорошее опреде&ление не должно устанавливать ничего, кроме допущения, совер&шенно необходимого для дела». Этому требованию и удовлетво&ряют последовательное, по шагам связывание элементарных ве&личин, предполагающее возможность удаления скобки: {а ое{) ое2 = а оех ое2, и определение а оф ос) - a ob ос (при подразумевае&мом случае а о (ех о е2) = я ое{ое2)- средства, достаточные для то&го, чтобы в произвольной величине, содержащей только знаки объединения о, удалить все скобки.
Поскольку, как мы видели, конечной целью преобразований величин является приведение их к «штифтовому» виду, позволяю&щему устанавливать их равенство или неравенство, - а такое пре&образование предполагает раскрытие скобок - свойство ассоциа&тивности бинарной операции является для Р. Грассмана естест&венно предшествующим свойству коммутативности.
В этом можно видеть некое предвосхищение подхода современной алгеб&ры, при котором ассоциативность как свойство определенной опе&рации обычно рассматривается прежде, чем свойство коммутатив&ности (ср. переход от ассоциативных исчислений и полугрупп к группам и от них к абелевым группам, о чем мы говорили выше).В теории величин, как она изложена в труде 1872 г., обраща&ет на себя внимание отсутствие обратных операций. В «Преди&словии» к учению о величинах, содержащемся в труде 1890 г. «Учение о мышлении», - труде, который, как мы уже говорили, воплощает расширенный и обогащенный вариант теории форм, представленной в книге 1872 г., - Р. Грассман следующим обра&зом объясняет это обстоятельство. Тогда, в 1872 г., он считал, что операции, обратные прямым операциям теории величин, - эти обратные операции он называет теперь «разъединением» (Trennung) - имеют смысл в математике, но не имеют смысла в логических науках; но дальнейшая разработка теории привела его к иному заключению. Это изменение позиции, с которым
Р. Грассман, по-видимому как раз и связывает снятие «несовер&шенства» теории величин 1872 г., описывается им следующим образом:
В учении о формах, или математике, для каждого [способа] связи име&ется и соответствующее разъединение, для сложения - вычитание, для ум&ножения - деление, для возведения в степень - извлечение корня и логариф&мирование. Все эти [способы] разъединения в издании 1872 г. были опуще&ны автором, так как он считал, что они имеют силу только для учения о формах, но не для логических наук (...) В предлагаемом новом издании 1890 года автор рассматривает и эти [способы] разъединения, так как в уче&нии о величинах как раз и должны быть разработаны все те [способы] со&единения, которые возможны для человеческого ума; в учении о величинах, стало быть, должны быть рассмотрены также способы разъединения, пока&зана область их действия и пределы. Уже введение этих способов разъеди&нения придает учению о величинах существенно более широкий характер и обогащает его теоремами.
Поэтому в новом издании «Учения о величинах», в котором разрабатываются виды и роды связей, а также три их уровня, имеется 270 теорем, что более чем в три раза превышает их число в старом издании 1872 г.Не вдаваясь в детали, заметим, что обратные операции тео&рии величин, как и прямые, позволяют осуществлять в ней со&ответствующие рекурсивные процедуры; они определяются в терминах соответствующих прямых контекстуально - с помо&щью равенств, делающих возможным эффективное вычисление их результатов. Так, в предположении однозначности ассоциатив&ной операции обратная ей операция, обозначаемая (как это делал еще Г. Грассман в труде 1844 г.) знаком и, задается равенствами[233]: a = aobKJbna = a>ubob.
Эффективный характер грассмановской общей теории вели&чин очевиден. Задаются исходные, не разделяемые на части вели&чины - элементарные, представляемые буквой е или той же бук&вой с положительными целочисленными индексами; при этом, как явствует из «разветвлений» учения о величинах, на которых мы коротко остановимся ниже, элементарные величины могут образовывать конечный набор (конечный алфавит) и даже исчер&пываться, как в арифметике неименованных целых чисел, двумя элементами - положительной и отрицательной «единичностями», либо образовывать (благодаря упомянутой индексации) потенци&ально бесконечное множество; индуктивно определяется понятие величины (формулы); рекурсивно задаются бинарные операции над ними - «соединения», «связи», с помощью которых в конеч- ном счете строятся все величины; доказательства носят индуктив&ный характер либо опираются на свойства отношения равенства и на использование элементарных актов обобщения. Таковы бес&спорные свидетельства конструктивности грассмановской кон&цепции. Тут, однако, возникает следующий вопрос.
Ныне мы знаем, что конструктивный подход, оперирующий описанными выше средствами, недостаточен для представления арифметики действительных чисел и ее геометрических аналогов. Как же поступает Р. Грассман? Чтобы не нарушать своей финит&ной установки (о которой мы говорили в предыдущем разделе и к которой вернемся в следующем), он в арифметике и «учении о протяженностях» (образующих третью и четвертую «ветви» тео&рии величин) старается, по-видимому, не рассматривать, так ска&зать, существенно бесконечностных случаев.
Тем не менее ему это не удается, и грассмановский «протоконструктивизм», начиная с некоторых пунктов, явно буксует. Ниже мы ограничимся тем, что покажем, с какой трудностью финитная установка Р. Грассмана сталкивается в логике. Но предварительно напомним читателю грассмановский принцип ветвления его теории величин.Не будем касаться деталей эволюции взглядов автора этой теории на характер - математический или логический - тех наук, которые возникают в результате упомянутого ветвления. Место идей Р. Грассмана на этот счет в современном видении проблемы мы укажем в заключительной части. Здесь лишь заметим, что в книгах 1872 г. все четыре ветви - логика, учение о соединениях, теория чисел и учение о протяженностях - считаются относящи&мися к математике как «общему учению о формах», а в «учении о мышлении» 1890 г. первые две причисляются к «стволу» логиче&ских наук, остальные же - к «стволу» наук математических, при&чем оба названных «ствола» рассматриваются - вместе с общей частью теории величин - как то, что Р. Грассман, начиная с тру&дов 1875 г., именует «учением о мышлении».