ТЕОРЕМЫ ОБ ОБРАТНОМ ОПЕРАТОРЕ.
Теорема 1. Пусть линейный оператор отображает линейное нормированное пространство
на линейное нормированное пространство
и удовлетворяет для любого
условию
(*)
Тогда существует обратный линейный ограниченный оператор .
Доказательство:
- 56 -
Покажем, что оператор отображает
в
взаимно однозначно. Доказывать будем от противного: пусть одному элементу
соответствуют два элемента
и
. Тогда
. Вычитая почленно, получим:
.
Пусть теперь два элемента и
соответствуют одному
. Тогда
. По формуле (*) :
,
.
По свойству 2 обратных операторов существует обратный линейный оператор . Докажем, что он ограниченный:
Из (*):
.
Но , что и доказывает ограниченность обратного оператора.
Теорема 2. Пусть линейный ограниченный оператор А отображает банахово пространство в себя и
. Тогда оператор
имеет обратный линейный ограниченный оператор.
Доказательство:
В пространстве операторов рассмотрим ряд составленный из операторов:
(1)
Для последовательности частичных сумм этого ряда имеем:
- 57 -
по условию теоремы. Следовательно,
- сходится в себе. По теореме параграфа 23 последовательность частичных сумм
ряда (1) сходится к
оператору
Рассмотрим произведение операторов
:
. Следовательно,
.
Отсюда .
Значит, - левый обратный оператор для оператора
.
Нетрудно убедиться, что он является и правым обратным оператором
Ограниченность оператора следует из неравенства:
.
ч.т.д.
- 58 -