ТЕОРЕМЫ ОБ ОБРАТНОМ ОПЕРАТОРЕ.

Теорема 1. Пусть линейный оператор отображает линейное нормированное пространство на линейное нормированное пространство и удовлетворяет для любого условию

(*)

Тогда существует обратный линейный ограниченный оператор .

Доказательство:

- 56 -

Покажем, что оператор отображает в взаимно однозначно. Доказывать будем от противного: пусть одному элементу соответствуют два элемента и. Тогда . Вычитая почленно, получим: .

Пусть теперь два элемента и соответствуют одному .

. По формуле (*) : , .

По свойству 2 обратных операторов существует обратный линейный оператор . Докажем, что он ограниченный:

Из (*): .

Но , что и доказывает ограниченность обратного оператора.

Теорема 2. Пусть линейный ограниченный оператор А отображает банахово пространство в себя и . Тогда оператор имеет обратный линейный ограниченный оператор.

Доказательство:

В пространстве операторов рассмотрим ряд составленный из операторов:

(1)

Для последовательности частичных сумм этого ряда имеем:

- 57 -

по условию теоремы.

оператору

Рассмотрим произведение операторов

:

. Следовательно, .

Отсюда .

Значит, - левый обратный оператор для оператора .

Нетрудно убедиться, что он является и правым обратным оператором

Ограниченность оператора следует из неравенства:

.

ч.т.д.

- 58 -