2.2 Процедуры генерации логических рядов с помощью обратных связей. Прямая и обратная задача генерации логического ряда.

Уточним и формализуем данные  в разделе 1.7 определения.

Постоянное атомарное высказывание - символы a, b, c…

Значения постоянных высказываний в случае классической логики высказываний - И или Л.

Переменное атомарное высказывание- символы ai, bi, ci …

Сложное высказывание - высказывание, составленное из атомарных высказываний, тех или иных логических символов (например -  ?, ?, \/, amp;, ?, в классической логике) и технических знаков (скобки, запятые) по правилам определеной логики высказываний (например - классической или рейхенбаховской).

Обратная связь -  формула, описывающая способ присвоения нового значения высказыванию ai+1, при известных старых значениях ai по правилам определенной логики высказываний.

Записывается с помощью  символа двоеточия ":". Формула содержит левую и правую часть. Слева от двоеточия записывается переменное атомарное высказывание, справа - сложное высказывание, значение которого будет присвоено переменному атомарному высказыванию в следующей итерации.

Пример.

Запись "ai+1: aiamp;b" означает: присвоить переменному атомарному высказыванию ai+1 значение сложного высказывания aiamp;b.

Система обратных связей - несколько обратных связей, меняющих свои значения одновременно на одной итерации. Система записывается путем записи в строчку всех обратных связей через точку с запятой.

Пример записи системы обратных связей:

ai+1: aiamp;b i; bi+1: aiamp;b iamp;c

Вероятность перехода – числовое значение от 0 до 1 изменения значения переменного атомарного высказывания на новое. Вероятность определяется с помощью генератора случайных чисел с равномерным распределением вероятности.

Пример.

Запись "0.8ai+1: aiamp;b" означает: присвоить переменному атомарному высказыванию bi+1 значение сложного высказывания aiamp;b с вероятностью 0.8.

Если в обратной связи вероятность не указана, то она по умолчанию, равна 1.

Бифуркация – расщепление возможных значений атомарных высказываний с некоторой вероятностью.

Пример:

0.8ai+1: aiamp;b; 0.2ai+1: aiamp;c

Это означает следующее: в обратной связи высказывание ai+1 принимает значение  aiamp;b с вероятностью 0.8, а значение  aiamp;c с вероятностью 0.2.

Начальные условия - значения переменных атомарных высказываний при i=0. Запись a0  = И означает: «Присвоить начальному условию высказывания ai значение И.

Мир (множество) начальных условий – совокупность всех комбинаций значений начальных условий.

Возможность - значения переменных атомарных высказываний при i?0.

Мир (множество) возможностей - совокупность всех комбинаций значений возможностей в обратной связи или системе обратных связей.

Граничные условия - значения постоянных атомарных высказываний в формуле.

Мир (множество) начальных и граничных условий - совокупность всех комбинаций значений начальных условий и значений граничных условий.

Прямая задача генерации логического ряда – построить логический ряд  при заданных обратных связях, граничных и начальных условиях, проанализировать все аттракторы рядов в мире начальных и граничных условий.

Обратная задача генерации логического ряда   – по логическому ряду реконструировать тип логики и систему обратных связей, которая сгенерировала этот ряд истинности.

Пример решения прямой задачи генерации.

Дана система высказываний, построенная с помощью классической логики высказываний:

ai+1: (aiamp;bi) ?c; bi+1: ?(c\/ai) ?bi

Граничные условия: c есть Л.

Исследуем поведение системы при разных начальных условиях.

Рассмотрим мир начальных условий с фиксированными граничными условиями, и мир возможностей, обозначив одинаковыми цифрами одинаковые возможности и комбинации начальных условий:

Таблица 2.2.1 Исследование логического ряда

в мире начальных условий

Видно, что мир возможностей уже при первой итерации беднее мира начальных условий – в нем нет варианта 4.

Исследуем каждую комбинацию начальных условий.

Пусть a0 есть И, b0 есть И (комбинация 1), тогда по таблице, a1 есть Л, b1 есть И и реализуется вариант 3 (такой же как a0 есть Л, b0 есть И), который опять переходит в вариант 1. Обозначим знаком “gt;” переход от одной возможности к другой. Схема переходов: 1gt;3gt;1gt;3gt;…

Ряд для ai есть ИРЛ. Значение bi будет истинным всегда.

Для начальных условий по набору 2 переходы будут: 2gt;1gt;3gt;1… Аналогично и для 3: 3gt;1gt;3gt;1…

Для начальных условий при варианте 4: 4gt;2gt;1gt;3gt;1…

Вывод: при всех значениях начальных условий в случае граничных условий с есть  Л, наша система приходит к предельному циклу, при котором bi есть И, а аi колеблет свое значение.

Теорема 1 прямой задачи генерации.

Рассмотрим систему из n переменных высказываний k-значной логики, с вероятностью перехода 1. Такая система может иметь только два аттрактора – аттрактор первого рода или аттрактор второго рода с максимально возможным периодом длиной в kn значений.

Доказательство. Выпишем все возможные варианты переходов из мира начальных условий в возможности, используя обозначения предыдущего примера. Их всего kn. Запишем их в kn строчки:

1gt;1, 1gt;2, 1gt;3, …, 1gt; kn ,

2gt;1, 2gt;2, 2gt;3, …, 2 gt; kn ,

3gt;1, 3gt;2, 3gt;3, …, 3gt; kn,

…

kn gt;1, kn gt;2, kn gt;3, …, kn gt; kn .

Наличие какой-либо системы высказываний означает, что в мире возможностей одновременно не может быть двух разных переходов - из всех комбинаций переходов одновременно может реализоваться только по одной комбинации высказываний из каждой строчки.

Действительно, любое высказывание ai не может при одном и том же i иметь одновременно два значения.

Например, если у нас – в результате системы высказываний реализовался переход 1gt;1, то в этой системе высказываний переход из возможности 1 в возможность 2 невозможен.

Пусть Х – какое либо начальное условие из мира начальных условий (1, 2, 3…, kn), переходящее в возможность.

Назовем возможность новой, если она еще не реализовывалась в переходе, и старой, если она уже где-то встречалась.

При i=0 есть kn–1 новых возможностей, при i=1 есть kn-2 и т.д. Цикл образуется тогда, когда у нас встречается на i-q итерации старая возможность – повтор возможности. Если возможности на i и i+1 итерациях одинаковы, то образуется на цикл, а фиксированное значение. Таким образом, получается аттрактор ряда истинности первого рода.

С каждой новой итерацией количество новых возможностей уменьшается. Допустим, что у нас не встречаются старые возможности – циклы и фиксированные значения не образуются. Но тогда на  на i+1 итерации  число новых возможностей станет равным нулю, и мы неизбежно перейдем к старой возможности, которая образует цикл.

Таким образом, самый длинный цикл будет длину kn.

Теорема доказана.