§ 7. О детерминистских и стохастических моделях

Результаты, полученные в трех предыдущих парагра­фах, показывают, что обычным следствием учета случайных факторов в математических моделях теории популяций (и, по-видимому, в теории биологических сообществ тоже) являются более жесткие требования к параметрам системы, которые обеспечивают ее устойчивость (в том или ином смысле).

Возникает вопрос: при каких условиях детерминистские модели более или менее адекватно описывают реальные ситуации и когда можно пренебречь влиянием случайности?

Обычно мы предполагаем, что изучаемое нами сообще­ство состоит из п групп (популяций) с численностями N_lf

N₂.......... N„. Если в интересующие нас моменты времени

эти численности известны, то мы считаем, что тем самым нам полностью известна динамика сообщества. Вообще говоря, Л?!, N₂ N_n можно рассматривать как случай­

ные величины и описывать их изменения во впемени как некоторый стохастический процесс, где

— вероятность того, что в заданный момент времени в соооществе насчитывается не более чем особей, принадлежащих к соответствующим группам. По­скольку при возрастании численности случайной вели­чины А\, ... , N_n сходятся по вероятности к своим средним значениям, то поведение сообщества с достаточно большой численностью удовлетворительно описывается динамикой средних величин. Поэтому в нашей книге, посвященной рассмотрению одного из аспектов динамического поведе- ния сообществ — устойчиврсти, мы, в основном, имеем дело лишь с достаточно большими по численности сообщест­вами, которые описываем математическими ожиданиями (средними) численностей групп.

Возможен и более «физический» подход к этой проблеме, почтине связанный с вероятностными понятиями. Пусть — n-мерное фазовое пространство, и мы изу­чаем в этом пространстве кривые, являющиеся траекто­риями нашей модельной системы. Реальное поведение си­стемы можно представить как движение по некоторой иде­альной усредненной траектории, на которое наложены раз­личные флюктуации. Но поскольку время пребывания в со­стояниях, отличающихся от среднего, пропорционально то можно считать, что при достаточно большой общей численности сообщество почти всегда (за исключе­нием, может быть, отдельных моментов времени) движется по идеальной траектории. Поэтому для сообществ, числен­ность которых велика, применимо динамическое описание.

Конечно, все эти рассуждения не могут претендовать на строгость. Но они достаточно правдоподобны и, как нам кажется, помогают понять выбор того или иного формаль­ного описания моделируемого объекта.