Йорген Йоргенсен (Копенгаген) 0 ЦЕЛЯХ И ПРОБЛЕМАХ ЛОГИСТИКИ[35]

Тема «Цели и проблемы логистики» является, конечно же, столь обширной и сложной, что совершенно невозмож­но в рамках журнальной статьи изложить ее пусть даже приблизительно исчерпывающим образом, в силу чего здесь предполагается лишь дать общий обзор этой темы, путем выделения ее важнейших основных моментов.

Чтобы с самого начала несколько упростить дело, я бы хотел начать с замечания, что между проблемами и целями логистики, по-видимому, имеет место простое отношение, которое совсем коротко можно обозначить так: проблемы определяются целями, которые пока еще не достигнуты. A потому будет целесообразно сперва кратко обсудить цели логистики, чтобы затем, путем отбрасывания уже достигнутых целей, которые означают такое же количест­во решенных проблем, придти ко все еще открытым про­блемам.

Ho в чем же тогда состоят цели логистики?

Это, очевидно, можно выяснить лишь двумя способами: во-первых, через высказывания по этому поводу самих ло­гиков, и, во-вторых, посредством анализа их логических сочинений. B строгом смысле, цели могут иметь только ис­следователи, которые работают в области логистики, а не сама логистика, ну а каковы эти цели - об этом следует уз­нать либо из их эксплицитных заявлений на эту тему, либо из имплицитных тенденций, которые можно выявить по­средством анализа их работ. Поэтому задачу, которая стоит передо мной, едва ли можно решить без тех или иных ис­торических замечаний, но чтобы не запутаться в историче­ских деталях, я бы хотел в этом плане ограничиться самым необходимым.

Поскольку логистика очень тесно связана с логикой, будет целесообразно, прежде всего, сказать несколько слов о тех целях, которые ставил пред собой создатель этой науки, Аристотель, когда он писал свои логические труды. Насколько я знаю, он в целом не высказывался по этому поводу, но из его произведений можно без труда извлечь некоторые общие замыслы.

B двух словах, оно было обусловлено замыслом смелой идеи «Scientia generalis», т.е. всеобщей науки, в которую все остальные науки должны входить как отдельные части и которая должна обеспечить, на основе достаточных дан­ных, возможность построения всех этих наук. B качестве предпосылки для этой всеобщей науки Лейбниц прежде всего представлял себе разработку двух других дисциплин: «Characteristica generalis» и «Calculus ratiocinator». Под первым из этих названий он понимал всеохватную логиче­скую идеографию, т.е. систему знаков, посредством кото­рой было бы осуществлено одно-однозначное соответствие между знаками и идеями, между выражениями и мыслями, так чтобы все простые идеи были представлены посредст­вом простых знаков, все сложные идеи - посредством зна­ковых комплексов, элементы которых выражают элементы идей. Собрание элементарных знаков он называл «алфави­том человеческих мыслей» и считал, что он будет содер­жать лишь ограниченное число знаков, из которых затем может быть образован весь универсальный и логический язык, как наглядное отражение всего человеческого знания. B такого рода языке должны быть, конечно, отражены не только отдельные идеи, но и отношения между ними, а по­скольку этот язык должен быть логическим ЯЗЫКОМ, TO OH выражал бы и логические отношения, которые обеспечи­вают возможность всех умозаключений. Итак, синтаксис этого языка должен быть логическим синтаксисом, т.е. правила, по которым должны комбинироваться, элимини­роваться и упорядочиваться знаки, должны быть такими же, как те, по которым мы должны составлять, элиминиро­вать и упорядочивать свои идеи, если хотим мыслить логи­чески корректным образом. Иными словами, универсаль­ная характеристика была бы не только логическим слова­рем (VocabuIarium), но и логическим исчислением, ибо как раз в силу того, что синтаксис Characteristica generalis дол­жен быть согласован с логическими правилами, манипули­рование знаками в соответствии с этими правилами было бы согласовано с соответствующими логическими опера­циями.

To, что Лейбниц замыслом этой грандиозной идеи не только поставил перед логикой столь обширную цель, что она не только для него самого оказалась недостижимой, но и вынуждала также более поздних исследователей сущест­венно ее сужать, не оправдывает распространенного мне­ния, что его идея была якобы лишь фантастической хи­мерой или голой мечтой; и те многочисленные попытки, которые он сам предпринял для ее реализации, ясно пока­зывают, что она была для него не мимолетной развлека­тельной мыслью, а серьезной программой, на выполнение которой QH потратил много усилий и времени. И в ходе этого он сделал столько ценных открытий, что теперь, по­сле того как более позднее развитие логики доказало большую плодотворность его идей, он повсеместно счита­ется основателем современной логистики. И с полным на то правом. Ведь он фактически указал в своих произведе­ниях все те основные цели, над достижением которых позднее работали логистики, а также открыл важнейшие методы осуществления этих целей. He вдаваясь в детали, я бы хотел очень кратко сформулировать те задачи, который он оставил своим последователям.

Во-первых, все без исключения понятия, которыми лю­ди оперируют в науках, должны быть анализируемы на­столько далеко, насколько это возможно и должны быть сведены к минимальному числу исходных понятий, из ко­торых все остальные понятия снова могут быть выведены или построены посредством определения.

Во-вторых, все без исключения высказывания, которые встречаются в науках, должны быть систематически упо­рядочены таким образом, чтобы все предложения, которые могут быть дедуцированы из других предложений, пере­числялись позже этих предложений, так чтобы получаю­щиеся дедуктивные системы начинались каждая с не­большого числа исходных предложений, из которых все остальные могли бы следовать. Эта задача может быть на­звана аксиоматической основной задачей.

В-третьих, все исходные понятия должны быть симво­лизированы посредством подходящих знаков, а все произ­водные понятия - посредством комбинаций этих знаков. Точно также все высказывания должны быть символизиро­ваны посредством введения подходящих знаков для выра­жаемых в них отношениях. Эту задачу назовем символоло­гической основной задачей.

И, наконец, в-четвертых для комбинаций понятий и для дедукции предложений должны быть найдены всеобщие правила, которые с помощью введенных символов могут быть сформулированы как вычислительные предписания. Эту задачу я называю калькуляторной основной задачей.

Из этих четырех основных задач, которые друг с другом тесно переплетены и друг друга частично обусловливают, сначала начали разрабатывать первые две и притом со­вершенно независимо от наработок Лейбница, которые, к сожалению, оставались в небрежении или же в забвении в течение двух столетий. Следующий решающий шаг сделал английский математик Джорж Буль, который построил первую разработанную систему «алгебры логики». Он по­казал, как с помощью обычных алгебраических символов можно построить вычислительную систему, формулы ко­торой могут быть интерпретированы как предложения об объемах понятий или об истинностных значениях (точнее: относительно значимости (Gultigkeitsdauer)) предложений, так чтобы здесь мышление действительно можно было за­менить вычислением. Позднее эта система была улучшена

Ч.С. Пирсом посредством введения символа для особого логического отношения - так называемого символа импли­кации, выражающей логическое следование, и затем до­строена Эрнстом Шрёдером до полной системы.

что она может быть рассмотрена в качестве полностью формальной системы, в которой - как говорил уже Буль - «правильность процессов зависит не от интерпретации ис­пользуемых символов, а только от законов их комбиниро­вания. Любые системы интерпретации, которые не влияют на истинность принятых отношений, являются в равной степени допустимыми, и поэтому один и тот же процесс может, согласно одной схеме интерпретации, представлять решение проблемы о свойствах чисел, согласно другой схеме интерпретации - решение геометрической пробле­мы, а согласно третьей схеме - решение проблемы опти­ки». B соответствии с этим пониманием, также и специфи­чески логическое в алгебре логики, а именно, ее выполни­мость для объемов понятий и предложений, должно, ко­нечно же, рассматриваться как особое применение, которое не в большей и не в меньшей степени связано с этой фор­мальной системой, чем любое другое возможное примене­ние или интерпретация, и алгебра логики должна, таким образом, рассматриваться скорее как особая алгебра, чем как логическая алгебра. Уайтхед, в своей объемной «Уни­версальной алгебре», в которой содержится изложение важнейших из известных видов алгебры, рассмотрел ал­гебру логики в качестве такого рода формальной системы, а именно, как наиболее простую из всех алгебраических систем. И с тех пор алгебра логики всегда трактовалась как такого рода формальная система, в особенности американ­скими исследователями, например Хантингтоном, Шеффе­ром и Бернштейном, которые существенно прояснили и упростили аксиоматические основы этой алгебры. Таким образом, обсуждавшаяся до сих пор система логической алгебры может считаться всего лишь частным случаем ре­шения калькуляторной основной задачи. A именно, если рассмотреть ситуацию конкретнее, эта система предостав­ляет только исчисление классов и предложений и при этом она оперирует лишь отношениями между классами или между предложениями, которые формально совпадают (konform), т.е. главным образом, включением или импли­кацией, и равенством, соответственно, эквиваленцией. Од­нако эти отношения представляют лишь очень небольшую выборку из всех отношений, которые могут иметь место между предметами, поэтому возникает задача развить об­щее исчисление отношений, которое было бы свободно OT таких ограничений. Попытки построения такого рода ис­числения предпринял уже де Морган, Пирс и Шрёдер так­же детально этим занимались; однако их работы на эту те­му страдали тем недостатком, что они рассматривали от­ношения как суммы упорядоченных пар индивидов, из-за чего фундаментальные свойства отношений должны были выражаться посредством очень длинных и с трудом интер­претируемых суммативных формул. Существенное упро­щение символики было впервые осуществлено в l900 г. Бертраном Расселом, который также предпринял глубокий анализ и классификацию отношений, благодаря чему, ча­стью лишь в результате более поздних улучшений, он при­дал исчислению отношений такой вид, который оно сохра­няет и поныне. C этой точки зрения исчисление классов и исчисление предложений оказываются всего лишь отдель­ными частями всеобщего исчисления отношений, а именно вычислительными теориями особого рода отношений, ко­торые называются отношением включения между классами и отношением импликации между предложениями, и свой­ства которых неявно определяются посредством соответст­вующих систем аксиом. Однако наряду с этими двумя от­ношениями существует еще необозримое множество дру­гих отношений, которые различным образом, например по числу их членов, отличаются друг от друга, и лишь не­большая подборка которых была до сих пор исследована, в частности, в абстрактных геометриях, которые вполне мо­гут быть истолкованы как части всеобщего исчисления от­ношений. Таким образом, здесь мы имеем обширную еще неисследованную область, более детальная разработка ко­торой тесно взаимосвязана с аксиоматической основной задачей, о которой я теперь, поэтому, должен сказать не­сколько слов.

По известному определению Вейля[37], аксиоматический метод заключается просто-напросто в том, чтобы полно­стью собрать исходные понятия и исходные факты, из ко­торых все остальные понятия и предложения некоторой теории или науки могут быть выведены при помощи опре­делений или дедуктивно. Решающая характерная черта ак­сиоматической системы состоит, таким образом, в том, что она содержит все те предпосылки, которые необходимы для того, чтобы чисто логически развить соответствующую теорию. Если речь идет о формальной теории, то аксиома­тическая система также будет формальной, т.е. предметы, для которых она должна выполняться, не будут опреде­ляться явным образом, а будут вводиться в качестве пере­менных, значение которых неявно устанавливается или очерчивается посредством включающих их аксиом. Поэто­му аксиомы и все выводимые из них предложения будут очевидно выполняться для любого мыслимого и совмести­мого с аксиомами истолкования исходных понятий, и вся система будет, как говорил Пьери (Pieri), гипотетико- дедуктивной системой. Иными словами, она представляет лишь следующее утверждение: если для какой-либо систе­мы объектов и отношений, при подходящей интерпретации исходных понятий, аксиомы превращаются в верные вы­сказывания об этих объектах и отношениях, то тогда для них выполняются и все теоремы данной теории. Если су­ществует несколько такого рода интерпретаций, то в таком случае система аксиом представляет не одну теорию, но ровно столько теорий, сколько существует интерпретаций. Поэтому систему формальных аксиом можно рассматри­вать как логическую пустую форму для возможных теорий, как некоторую «теорию-функцию» или «доктринальную функцию», а отдельные аксиомы и теоремы - как высказы- вательные функции[38], так что мы получаем высказывания в собственном смысле только если интерпретируем эти функции, или если конструируем общую импликацию с ак­сиомами в качестве антецедента и некоторой теоремой в качестве консеквента.

Как известно, разработкой этого аксиоматического ме­тода занималась, прежде всего, Гёттингенская школа под гениальным руководством Гильберта, и стараниями этих исследователей он превратился в высшей степени плодо­творный инструмент математического исследования. По­этому совершенно не удивительно, что этот метод по­пытались применить также и в области точной логики, в результате чего ее удалось аксиоматизировать и исследо­вать с помощью обычных методов на предмет непротиво­речивости, независимости и полноты. Это уже настолько общеизвестно, что здесь излишне останавливаться на этом подробнее. Однако, быть может мне будет позволено сде­лать одно-единственное замечание, которое, по моему мнению, разъясняет одну трудность, связанную с примене­нием аксиоматического метода в логике. Хотя, как уже бы­ло сказано, система аксиом во всех остальных случаях должна быть истолкована как теория-функция, которая до­пускает различные возможные интерпретации, кажется спорным, допустимо ли подобное истолкование аксиома­тической системы относительно логики. Ведь для того, чтобы вообще быть в состоянии выводить теоремы из ка­кой-либо системы аксиом, необходимо использовать опре­деленные принципы вывода, и эти принципы, если мы хотим, чтобы вывод вообще имел смысл, должны пред­полагаться как безусловно истинные. Однако такие прин­ципы являются как раз логическими принципами и поэто­му должны содержаться в системе аксиом логики. Эта ак­сиоматическая система должна, таким образом, содержать аксиомы, которые не могут быть истолкованы как пустые формы или высказывательные функции, но должны быть истолкованы как истинные предложения. И для того, чтобы удовлетворять этому требованию, они не могут содержать никаких неопределенностей, т.е. никаких действительных переменных, но входящие в них символы для предметов и отношений должны обозначать совершенно конкретные предметы и отношения между ними; и мы должны заранее знать эти предметы и отношения, чтобы иметь возмож­ность решить, являются ли эти аксиомы истинными. Ho ес­ли это так, то тогда обычные для других случаев методы доказательства непротиворечивости представляются со­вершенно бессмысленными относительно таких аксиом; ибо если уже заранее ясно, что каждая аксиома сама по се­бе истинна, то тогда уже может не подвергаться сомнению, что они не противоречат друг другу. Вообще, я должен сказать, мне кажется, что логическую систему аксиом нельзя ни истолковать чисто формально, ни установить по­средством «мета-математических» рассмотрений, но всегда нужно прибегать к содержательному исследованию приро­ды предложений и отношений между ними, точно также как, по моему мнению, лишь с помощью такого рода сооб­ражений можно дать обоснование того, что правило выво­да Гильберта

5

S^T

T

должно быть сформулировано именно так, а не как-то по- другому, например так:

S

S^T

T

Поэтому мне представляется сомнительным, что аксио­матический метод в чисто формальном построении, кото­рый ему придали аксиоматики, покажет себя таким же зна­чимым в логике, каким он показал себя в математике, хотя я вовсе не хочу отрицать, что он может быть очень полез­ным для решения частных проблем, и конечно же, является незаменимым при исследовании природы всех нелогиче­ских дедуктивных систем.

B этих условиях я должен считать большой удачей то, что логистики, которые занимались анализом оснований логики и дедуктивными системами, развиваемыми при по­мощи логики, посвятили себя преимущественно содержа­тельным исследованиям логических предметов и фактов, как это имеет место в работах Фреге, Пеано и его школы, а также Рассела и его последователей. Интерес этих иссле­дователей сосредоточен не столько на формальной кальку- ляторной основной задаче, сколько на конституционно­теоретической и содержательно аксиоматической, а, поми­мо этого, в качестве вспомогательного средства для их ре­шения они исследовали символологическую основную за­дачу. O разработке удобной символики особенно позаботи­лись члены итальянской школы, и фактически они приду­мали большую часть используемых сегодня логических символов. При этом они особое внимание уделяли тому, чтобы для разных идей и операций вводить разные симво­лы, даже если эти идеи и операции с формальной точки зрения выглядели похоже или одинаково, как например, логическое и арифметическое сложение и умножение. Этот интерес к идеографии связан с тем, что члены итальянской школы главным образом заботились о - хотя и не осущест­вленном - анализе математических понятий и о представ­лении математических предложений только с помощью идеографических символов. Таким образом, они рассмат­ривали идеографию главным образом как инструмент по­нятийного анализа, и поэтому логистика истолковывалась ими скорее как метод, чем как система. У Фреге же, на­против, систематическая точка зрения с самого начала на­ходится на переднем плане, и символика для него является главным образом лишь средством достижения его система­тической цели. Эту цель он следующим образом сформу­лировал в своей работе «Основные законы арифметики» (С. 1): «В моих “Основаниях арифметики” я стремился по­казать правдоподобность того положения, что арифметика является ветвью логики и не должна искать какую-либо опору для своих доказательств ни в опыте, ни в созерца­нии. B настоящей книге это должно быть подтверждено тем, что простейшие законы численностей будут выведены с помощью одних лишь логических средств». И действи­тельно, мы имеем здесь первую обширную и в деталях проработанную попытку построить часть «Scientia generalis» - конечно, всего лишь небольшую, но все же очень важную часть, и если бы эта попытка удалась, то ее следовало бы расценить не только как победу логи­стических методов, но и как важное научно-теоретическое открытие. Однако, к сожалению, эта попытка должна быть оценена как неудачная. Парадокс Рассела показал, что что- то еще было не в порядке. Тем не менее, старания и дости­жения Фреге вовсе не следует на этом основании расцени­вать как бесполезные. Наоборот, своими чрезвычайно про­ницательными исследованиями он внес так много ясности в вопрос в целом и задал настолько высокие стандарты для логических исследований, что он навсегда останется в ис­тории логики как один из ее творцов. Кроме того, многие из его идей нашли воплощение в систематическом основ­ном труде современной логистики, «Ргіпсіріа Mathematica» Рассела и Уайтхеда. Я должен теперь сказать несколько слов об этом фундаментальном произведении, которое по­средством всеохватного синтеза подвело итог всему, чего достигли логистики к 1913 г., чтобы затем от него перейти к новейшим логистическим исследованиям.

Главная цель «Ргіпсіріа Mathematica» состоит в том, чтобы строго доказать, что чистая математика и чистая ло­гика могут быть объединены в рамках одной-единственной дедуктивной системы. Или, другими словами: что всю чис­тую математику можно свести к чистой логике, а именно, таким образом, что с одной стороны, все математические предложения можно дедуцировать из логических предло­жений, а с другой стороны, все математические понятия можно образовать из логических понятий. Для достижения этой цели Рассел и Уайтхед должны были, прежде всего, придать и логике подходящую форму, т.е. они должны бы­ли саму логику представить в виде дедуктивной системы, в которой были бы доказаны все те предложения, которые могут быть доказаны, и сформулированы все те понятия, которые могут быть сформулированы. При этом, естест­венно, определенные исходные предложения и определен­ные исходные понятия должны были быть приняты как за­ранее данные, в качестве предположительно далее нереду- цируемого фундамента, которого было бы достаточно для поддержания всего здания. Таким образом, сначала необ­ходимо было найти исходные предложения и исходные по­нятия и символизировать их подходящим образом, чтобы иметь возможность осуществить это построение на манер исчисления. A поскольку каждый дедуктивный процесс со­стоит в том, что те или иные предложения выводятся из других таким образом, что истинность первых гарантирует истинность последних, необходимо было начать с анализа предложений, и здесь, естественно, сразу пришли к разде­лению предложений на те, которые состоят из других предложений и те, которые не содержат других предложе­ний в качестве компонентов. Последние назвали «атомар­ными», а первые - «молекулярными» предложениями, так как они могут быть рассмотрены как результат связи ато­марных предложений. Между тем стало очевидно, что су­ществуют различные виды способов связи и вытекающих отсюда связок, и отсюда возникла задача исследовать, сколькими различными способами можно образовывать молекулярные предложения из одного или нескольких атомарных предложений. По моему мнению, эту задачу можно решить только эмпирически-индуктивным образом, и поэтому мы никогда не можем знать, открыли ли мы уже все возможные способы связи. Только если заранее огра­ничиться тем, чтобы заниматься лишь определенными спо­собами связи или операциями, можно получить обзор всех предложений, которые могут быть образованы при помощи этих операций. Как известно, в «Ргіпсіріа Mathematica» ис­ходят из отрицания и дизъюнкции, а затем определяют конъюнкцию, импликацию и эквивалентность. Позднее Г.М. Шеффер1 показал, что посредством одного лишь от­ношения «несовместимости» или «отвержения» можно оп­ределить все встречающиеся в «Ргіпсіріа» отношения меж­ду двумя предложениями, так что нам нужно одно лишь это исходное отношение. B символической форме тот факт, что два произвольные атомарные предложения, p и q, яв­ляются взаимоисключающими или несовместимыми выра­жается обычно посредством знакосочетания p!q. Это озна­чает: «p и q не являются одновременно истинными». Таким образом, здесь ничего не говорится о содержании p и q, а также ничего - об истинности или ложности p или q по отдельности, HO лишь то, что они не являются вместе ис­тинными. Итак, если подставить вмссто p и q конкретные атомарные предложения, то получается молекулярное предложение, истинность которого зависит только ЛИШЬ OT значений истинности p и q. Если p и q являются вместе ис­тинными, то p!q является ложным, в остальных же случа­ях - истинным. Поэтому выражение plq можно считать функцией p и q, а именно такой функцией, истинностное значение которой зависит только от истинностных значе­ний p и q, и только от них. Такого рода функция как раз и называется истинностной функцией, и все функции, кото­рые могут быть образованы посредством связки атомарных предложений при помощи отношения несовместимости, являются истинностными функциями от атомарных пред­ложений в качестве аргументов. Большое значение этих функций состоит в том, что они дают возможность опреде­лять истинность или ложность одних предложений на ос­нове истинности или ложности других предложений, без необходимости что-либо знать о содержании этих предло­жений. Если мы, например, знаем, что p!q является ис­тинным, и что p является истинным, то можем заключить, что q является ложным, ибо в противном случае p и q не были бы несовместимыми в принятом выше смысле. Очень важно, поэтому, иметь обзор всех истинностных функций и, как показал Витгенштейн[39], это можно очень легко осу­ществить при помощи истинностных таблиц. Если, напри­мер, исходить из двух атомарных предложений, каждое из которых может быть истинным или ложным, то существует четыре и только четыре взаимоисключающие комбинации их истинностных значений, а именно: pq, pq, ^q и pq, где p должно означать истинность p, а p - отрицание ис­тинности, т.е. ложность p. Если теперь объединить эти че­тыре комбинации посредством дизъюнкции и принять BO внимание, что каждая из них может быть истинной или ложной, то получится 16 возможных взаимоисключающих истинностных возможностей, как показано в таблице I:

Каждое из этих выражений определяет истинностную функцию или от p, или от q, или отp и q, а вместе они оп­ределяют все мыслимые истинностные функции OT одного или двух атомарных предложений. Так, первая функция определяет так называемую «тавтологию», вторая - «несо­вместимость», третья - «материальную импликацию», седьмая - «отрицание р», пятнадцатая - «конъюнкцию» и шестнадцатая - «противоречие». Bce эти истинностные функции выписаны в таблице II при помощи обычных ло­гистических знаков. Каклегко видеть, все 16 истинностных функций соответствуют друг другу таким образом, что лю­бые две из них, порядковые номера которых дают в сумме 17, отрицают друг друга; это выполняется, например, для (1) и (16), (2) и (15), (3) и (14) и т.д., из чего следует, что мы получим тавтологию, т.е. дизъюнкцию всех истинностных возможностей, если произвольную истинностную функцию свяжем дизъюнктивно с соответствующей ей истинностной функцией. И поскольку всегда можно осуществить такую связку без того, чтобы уничтожить истинность данной ис­тинностной функции, то мы видим, что все предложения, которые могут быть сконструированы приведенным спосо­бом, являются «тавтологическими». Точно также очевидно, что если выполняющиеся истинностные возможности не­которого предложения полностью или частично содержат­ся в выполняющихся истинностных возможностях другого предложения, то второе предложение должно быть истин­ным, в случае если первое предложение является истин­ным, т.е. истинность второго предложения следует из ис­тинности первого, или как говорит Пауль Вайс[40]: первое предложение охватывает (entails) второе. Так, истинность (4) следует из истинности (10), поскольку выполняющими­ся истинностными возможностями (10) являются pq и pq, а (4) - pq, pq и pq. B частности, истинность тавтологии (1) следует из истинности всех остальных выражений, ибо (1) содержит все имеющиеся истинностные возможности. Напротив, из тавтологии никогда нельзя вывести нетавто­логическое предложение, так как это означало бы, что мы произвольно исключаем одну или несколько из содержа­щихся в тавтологии истинностных возможностей, что есте­ственно, недопустимо. Таким образом, если в качестве ис­ходных предложений логики принять только тавтологии, то из них никогда нельзя будет получить нетавтологиче­ских предложений. И лишь тавтологические предложения являются абсолютно необходимыми и априорно истинны­ми. Итак, если логика должна быть априорной наукой, она может исходить только из тавтологических предложений и содержать только тавтологические предложения, и по­скольку «Ргіпсіріа Mathematica» должна быть такого рода системой, то она может содержать только такие предложе­ния. Однако эти предложения устроены таким образом, что их истинность может быть установлена на основе одной лишь их формы, и поэтому для них несущественно, что они выводятся из каких-либо других предложений, так что лю­бая дедукция кажется здесь излишней. Или, говоря слова­ми Витгенштейна (6.127 и 6.1262): «Все предложения ло­гики равноправны, среди них нет таких, которые являются исходными и выводными по самой их сути. Каждая тавто­логия сама показывает, что она тавтология». «Доказатель­ство ее в логике - только техническое средство, помогаю­щее распознать тавтологию там, где она усложнена». Та­ким образом, согласно этой точке зрения, представляется, что аксиоматическое построение логики, которое, как уже отме­чалось, подвержено определенным опасностям, оказывается, к счастью, также и излишним, после того как установлен тав­тологический характер логических предложений.

Как только мы доходим до этого пункта, тут же возни­кает следующий вопрос: если все логические предложения являются равноправными тавтологиями, то какое значение имеет установленный в «Ргіпсіріа Mathematica» в качестве исходного закона принцип дедукции: «Если p истинно, и если истинно, что p материально имплицирует q, то q ис­тинно?» Такого рода принцип представляется совершенно излишним, если строить логику высказываний на основе таблиц истинности, ибо в этом случае можно ведь не­посредственно извлечь содержащееся в нем утверждение из таблицы истинности III, которая определяет материаль­ную импликацию:

Таблица III

Тем более, что это - только одна сторона дела. A имен­но, как вытекает из уже сказанного, «материальная импли­кация» является только одной из 16-ти возможных ис­тинностных функций, и поэтому можно было бы сомне­ваться, имеет ли она право на какое-то особое положение. Расселом1, как известно, она была введена в качестве выра­жения для такого отношения, которое должно иметь место между двумя предложениями, когда возможно заключение от истинности одного предложения к истинности другого. И действительно: Если определить «p материально импли­цирует q» как равнозначное выражение с «нc-p или q», то комбинация pq исключается, и поэтому всегда можно из истинности p вывести истинность q. Однако из ложности p ничего нельзя вывести относительно истинности или лож­ности q. Ho если в качестве исходного отношения вывода или следования вместо импликации рассматривалось бы отрицание, то тогда вывод вполне был бы возможен, а именно - от ложности p к истинности q. A потому мате­риальная импликация не является единственным отноше­нием, которое допускает дедукцию, и таким образом, ка­жется несколько произвольным основывать принцип де­дукции именно на этом отношении. Возможно, именно это обстоятельство дало Паулю Вайсу повод утверждать, что наряду с системой, основывающейся на материальной им­пликации, можно построить тринадцать других равнопо­ложенных систем, а именно столько, сколько существует истинностных функций, если отвлечься от тавтологии и противоречия, которые допускают все истинностные воз­можности или не допускают ни одной. Если, например, в основу принципа дедукции вместо строки 3 положить строку 2, то получится система, в которой выполнялось бы, что ложное предложение можно дедуцировать из любого предложения и любое предложение можно дедуцировать из ложного предложения, в то время как истинное предло­жение можно дедуцировать только из ложного предложе­ния и допускается лишь дедукция из ложных предложений. A именно, из четырех истинностных возможностей комби­нации p и q, первая frq) исключалась бы, в то время как три остальные (pq, pq и pq) сохранялись бы, так что полу­чается схема, приводимая в таблице IV:

Таблица /I'

из которой легко могут быть извлечены упомянутые де­дукции. И точно также легко видеть, что при помощи ана­логичных схем отношение «из p следует q» можно таким образом определить относительно всех других истинност­ных функций, чтобы, как было сказано, могли быть разви­ты 14 различных систем дедукции, среди которых система «Ргіпсіріа Mathematica» представляет собой всего лишь од­ну. Несмотря на то, что большинство из этих систем не имело бы никакого применения, они являются возмож­ными с абстрактной точки зрения, и одна из еще не решен­ных задач логистиков состоит в том, чтобы развить каж­дую из этих систем, сравнить их друг с другом и тем са­мым осуществить возможные обобщения нынешней логи­стики. Однако я должен здесь добавить, что недавно Пауль Вайс (S. 248)[41] взялся за решение этой задачи и сконструи­ровал очень элегантную схему, из которой можно вывести многие логические взаимосвязи. Кроме того, д-р Вайс в этой работе разъяснил, каким образом можно получить и другие обобщения, если принять во внимание, что все вы­шеупомянутые истинностные функции имеют всего лишь два аргумента, и потому являются довольно-таки частными функциями. Если вместо этих истинностных функций рас­сматривать функции от трех, четырех, пяти или любого ко­нечного числа аргументов, то получилось бы очень быстро растущее число истинностных возможностей, посредством которых можно было бы определить некоторое увеличи­вающееся число различных истинностных функций, каж­дая из которых могла бы сама по себе служить в качестве базиса того или иного принципа дедукции, так что можно было бы развить неограниченно много различных систем дедукции. Простой пример этого дает уже «линейная триа­да» Кемпеса: Ffl)\ac), которая является асимметричным, транзитивным отношением и допускает такие выводы, от­носительно которых наши обычные выводы представляют собой лишь частный случай. И вполне можно себе пред­ставить, что не только существуют и другие трехместные отношения дедукции, но также и четырех-, пяти- или //-ме­стные, как показал Ройс[42] посредством своего обобщения триады Кемпса: F(abc....\xyz ), так что логика в этом от­ношении, как представляется, может быть расширена неог­раниченным образом.

Однако не только в этом отношении. Ee пытались обобщать также и в другом отношении. A именно, в основе всего, что я до сих пор обсуждал, лежит предпосылка, что любое предложение может иметь только два истинностных значения: истину или ложь. Именно потому базирующуюся на этой предпосылке логику называют двузначной ло­гикой. Ho это ограничение двумя истинностными значе­ниями кажется искусственным, и поэтому были предпри­няты попытки тем или иным образом его обойти. C учетом всего сказанного до сих пор, наиболее простой для пони­мания является недавно предпринятая Эмилем Постом[43] и определенным образом далее развитая Лукасевичем по­пытка построить многозначные системы исчисления вы­сказываний, так как она непосредственно связана с мето­дом «истинностных таблиц». Если истинностные функции двузначного исчисления определить посредством так на­зываемых «матриц», по типу тех, которые приводятся в таблице V:

Таблица V

где 0 соответствует «ложно», а 1 - «истинно», то представ­ляется довольно естественным рассмотреть матрицы с тре­мя или более значениями. Так Лукасевич - с исследо­ваниями которого на эту тему я, к сожалению, знаком только из короткого отчета в «Monatsheften fur Mathematik und Physik», Bd. XXXlII, S. 24-25 - определяет, например, импликацию и отрицание в трехзначном исчислении вы­сказываний способом, приводимым в таблице VI:

Таблица VI

и показывает, что предложения этого трехзначного исчис­ления образуют подкласс обычного двузначного исчисле­ния, который, однако, не содержит многих предложений двузначного исчисления, критикуемых со стороны интуи- ционистов, отчего Лукасевич предлагает также исследо­вать соответствующую трехзначному исчислению матема­тику. Здесь у меня нет возможности детальнее останавли­ваться на этом вопросе, а я могу лишь сделать несколько замечаний по поводу многозначных логических систем. B соответствии с методом, который использует Лукасевич, многозначность имеет чисто формальный характер, в том смысле, что мы не знаем, какие именно значения соответ­ствуют числам 0, Vi, 1. Хотя более ранние исследования показали, что в двузначной системе 0 можно интерпрети­ровать как «ложно», а 1 - как «истинно», это, однако, яв­ляется всего лишь некоторой интерпретацией, но ведь воз- можнытакжеидругиеинтерпретации. Как сказалРассел1, для математической логики безразлично, что такое истина и что такое ложь; значение имеет лишь то, что предложе­ния делятся по четким правилам на взаимоисключающие классы. B двузначных исчислениях они делятся только на два класса, которые обозначаются как класс истинных и класс ложных предложений, однако любая другая пара свойств, приводящих к аналогичному разделению, могла бы точно так же считаться «значениями». B силу этого 0 вовсе не обязательно должен интерпретироваться как знак для «ложно» и I - как знак для «истинно», но их мож­но рассматривать как знаки для произвольных свойств, приводящих к соответствующему делению. И если ввести три символа для значений: 0, Vi и l, то точно также не обя­зательно иметь в виду определенные значения, HO с ними можно оперировать чисто формальным образом. Однако если мы хотим применить исчисление к предложениям, нужно конечно знать свойства предложений, которые мо­гут соответствовать символам для значений, как, например, «истинно» и «ложно» в двузначном исчислении. Тут пред­ставляется довольно естественным, в качестве значений многозначных исчислений предложений ввести различные модальности суждений, и действительно, прежние попытки построения многозначной логики задумывались как исчис­ления модальностей. МакКолл работал в этом направлении уже с l872 г. и его «Символическую логику» l906 г. следу­ет рассматривать как своего рода пятизначное модальное исчисление, в котором кроме «истинно» и «ложно» опери­руют еще с тремя исходными предикатами суждений, а именно - «необходимо», «невозможно» и «переменно» (т.е. ни необходимо, ни невозможно). Между тем, более известна построенная Льюисом система «строгой импли­кации», которая представляет интерес с различных точек зрения. Как известно, Оскар Беккер отметил, что, основы­ваясь на работах Люиса, можно построить исчисления

' Oskar Bekker. Zur Logik der Modalitaten // Jahrbuch PUr Phil. u. ph3n. Forschung, Bd. XI, S. 497 Л.

с шестью или десятью исходными модальностями, кото­рые, по его мнению, могут быть определенным образом взаимосвязаны с логикой Брауэра, которая была формали­зована Гейтингом[44]. Здесь я, к сожалению, не могу более под­робно останавливаться на этой интересной проблеме, которая еще не разработана, но должен обратиться к одному общему вопросу, который возник в связи со «строгой импликацией».

Введенная Расселом «материальная импликация» не со­ответствовала обычному понятию следования. Это обстоя­тельство побудило Льюиса уже в 1912 году[45] проанализи­ровать понятие «материальной импликации» более деталь­но. B результате такого анализа Льюис пришел к понятию «строгой импликации», которое выражает более узкое от­ношение, чем отношение «материальной импликации», и которое не могло быть определено только посредством значений «истина» или «ложь», но требовало еще одно, третьего значения: «невозможность». Затем при помощи этих трех истинностных значений он определяет выраже­ние «p строго имплицирует qy> как равнозначное с «невоз­можно, что p является истинным, а q - ложным», в то вре­мя как материальная импликация утверждает лишь лож­ность того, что p является истинным, а q - ложным. B сим­волической форме:

p< q •= df • pq,cooT.pzD q •= df- pq,

B результате, по его мнению, мы с одной стороны по­лучаем определение обычного понятия следования, и с другой стороны, избегаем так называемых «парадоксов» материальной импликации - например, pz^(pz^q) и q^>(p^>q), т.е. из ложного предложения следует любое предложение, и истинное предложение следует из како­го угодно предложения. Это, однако, оказалось необосно­ванным, поскольку и в исчислениях Льюиса встречают­ся похожие «парадоксы», как, например, pможно наверное пойти еще дальше и утвер­ждать, что то же самое предполагает любая экстенсиональ­ная логика, ибо построение истинностных функций пред­полагает, что атомарные предложения не являются полно­стью бессмысленными, но имеют по крайней мере TOT смысл, что их можно отличать друг от друга и от их отри­цаний. Обратное же, напротив, не имеет места, ибо мы вполне можем установить, «влечет» ли одно предложение

другое, без того, чтобы нуждаться в каком-либо знании об истинностных значениях обоих предложений. Итак, в этом смысле интенсиональная логика оказывается более фунда­ментальной, чем экстенсиональная[49], и желание построить логику чисто экстенсионально, как это попытались сделать в «Ргіпсіріа Mathematica», кажется неудачным. Хотя, воз­можно, и правильно, что, как заметил Рассел во втором из­дании (р. 659), при помощи подходящего определения можно обосновать тезис, что функция может ВХОДИТЬ в предложение только посредством СВОИХ истинностных зна­чений, и тем самым спасти экстенсиональное построение, но тем самым интенсиональные моменты, которые встре­чаются при построении основополагающих истинностных функций, вовсе не устраняются, но лишь произвольно ис­ключаются из сферы рассмотрения. Иными словами, дажс если определить математику так, что она может содержать лишь функции от функций, которые соответствуют этим допущениям, все же интенсиональные моменты будут не­явно содержаться в основополагающих функциях. Поэтому представляется настоятельно необходимым наряду с экс­тенсиональной логикой развивать логику интенсиональ­ную, и то, каким образом это следует делать, может счита­ться одной из важнейших проблем современной логистики.

Ha этом пути можно прийти к гораздо более широкому обобщению, чем то, которое обсуждалось ранее. A именно, если исследовать отношения, обусловленные смыслом предложений, то, как это уже вытекает из замечаний каса­тельно «следования», нельзя будет избежать того, чтобы исследовать и другие свойства наряду с истинностными значениями, а истинностные значения предстанут тогда лишь в виде некоторых особых качественных значении (Eigemchaftswerle). A можно ведь пойти дальше, и вместе с Паулем Вайсом замыслить идею логики, которая имеет де­ло не только с предложениями и их свойствами, но с про­извольными предметами и какими-либо свойствами. B обобщенной таким образом логике утверждения звучали бы не как: «Если такое высказывание является истинным, то тогда тавтологически истинным является также и такое высказывание», но как: «Если это и это имеет место, то то­гда тавтологически имеет место также это и это». Логика «Ргіпсіріа Mathematica» представляла бы собой лишь очень частный случай применения такого рода логики, а именно, тот случай, когда в качестве элементов допускаются лишь предложения, в качестве свойств этих элементов - лишь «истина» и «ложь», а в качестве комбинаций этих элемен­тов - лишь истинностные функции. Однако, кроме этого указания, мне пока нечего сказать на эту тему и поэтому я бы хотел вернуться к логике «Ргіпсіріа», чтобы кратко обсудить некоторые связанные с ней проблемы.

Как вы, конечно же, уже заметили, до сих пор я говорил только об атомарных и состоящих из них молекулярных предложениях. Если все эти предложения называть «эле­ментарными предложениями», то сразу возникает вопрос, все ли предложения являются элементарными. И на этот вопрос мы должны, по-видимому, ответить отрицательно. Конечно, мы никогда не сможем со всей определенностью сказать, сколько существует других видов предложений, поскольку здесь решающее слово относительно возможно­стей построения предложений остается за опытом, который никогда нельзя исчерпать. Тем не менее, уже установлено, что некоторые другие виды являются далее несводимыми. Это верно, в частности, для так называемых «обобщающих предложений», которые играют в логистике важную роль. Такого рода предложением является, например: «Всякий человек смертен», которое равнозначно предложению: «Если дг является человеком, то X является смертным» или: «Для любого значения x, выражение (x есть человек) им­плицирует выражение (x смертен)». Здесь существенно, что в обоих упомянутых выражениях д: имеет одно и то же значение, в силу чего все предложение нельзя рассматри­вать как материальную импликацию с двумя выражениями в качестве членов, но это предложение должно рассматри­ваться как единая конструкция. B эту конструкцию входят, между прочим, два - взаимозависимые здесь - выражения отношений, то есть, например, (х)фХ - как конъюнкцию всех элементарных предложений, КОТО­рые получаются в результате подстановки вместо всех возможных значений переменной дг. Если имеется конечное число таких значений, дело кажется ясным, однако в слу­чае, если имеется бесконечно много значений, TO можно усомниться, являются ли их конъюнкция и дизъюнкция правильно построенными образованиями. Несмотря на то, что для утверждения дизъюнкции практически безразлич­но, имеет она бесконечное или лишь конечное число чле­нов, так как дизъюнкцию можно утверждать, если известен хотя бы один истинный член1, для утверждения конъюнк­ции с бесконечно многими членами требуется, по- видимому, знание всех этих членов и является поэтому очень проблематичным, точно также как и дизъюнкция в этом случае определяется только посредством бесконеч­ного числа комбинаций истинностных возможностей. Если это верно, то отсюда вытекают довольно иеприятпые по­следствия, заключающиеся в том, что построение экстен­сиональной теории обобщающих предложений представля­ется невозможным, так что мы вынуждены обратиться к содержательным рассмотрениям отношений между выска- зывательными функциями; в этом случае едва ли возможно распространить преимущества теории дедукции Витген­штейна на обобщающую теорию дедукции. Можно даже опасаться, что этот недостаток окажется роковым также и для элементарной теории дедукции, ибо все содержащиеся в ней высказывания об элементарных предложениях долж­ны охватывать все эти предложения, из-за чего такие вы­сказывания должны истолковываться как общие предложе­ния. Однако эта последняя трудность может, по моему мнению, быть в некоторой степени преодолена, если под­черкнуть, что предложения элементарной теории дедукции говорят лишь об истинностных значениях, и что высказы­вания о таких предложениях всегда можно проверить за конечное число шагов, если имеется только конечное чис­ло истинностных возможностей. Таким образом, указанная трудность, по-видимому, преодолевается в рамках элемен­тарного исчисления предложений. Однако предпосылка этого преодоления: любое элементарное предложение мо­жет иметь лишь конечное число - например два - истинно­стных значений само кажется настоящим общим предло­жением, которое не может быть окончательно верифици­ровано и должно быть либо принято в качестве гипотезы, либо быть доказано лишь благодаря произвольному опре­делению понятия «элементарное предложение» как все то, что может иметь такое-то и такое-то количество истинно­стных значений. Ho в любом случае окончательное прояс­нение логической природы общих предложений должно быть обозначено как одна из важнейших задач логистики.

Вероятно, в результате такого прояснения будет решена и так называемая «проблема разрешимости». B этой проб­леме, которая рассматривается Гильбертом и его сотрудни­ками[50], имеющими такие большие заслуги в деле ее рас­смотрения и уточнения, как основная проблема математи­ческой логики, речь идет о том, возможно ли и в какой сте­пени сформулировать вполне определенную общую проце­дуру, которая за конечное число шагов позволяет опреде­лить верность или ложность произвольного утверждения, представимого посредством чисто логических средств. Как известно, относительно элементарных предложений эта проблема довольно элегантным образом решена Гет­тингенской школой с помощью давно уже установленных в алгебре логики «законов развертывания» посредством применения так называемых конъюнктивных и дизъюнк­тивных «нормальных форм» предложений, т.е. форм, в ко­торых предложения представляются либо как произведе­ние сумм исходных высказываний или как сумма их произ­ведений, и в которых каждое слагаемое, соответственно каждый сомножитель, является атомарным высказыванием.

взятым с отрицанием или без него. Из таких нормальных форм можно моментально увидеть, является ли или не яв­ляется выражение всегда верным, соответственно, является ли оно или не является всегда ложным. Для любого обоб­щающего предложения также можно построить некоторую нормальную форму, однако в общем виде проблема разре­шения пока еще не решена, да и после опубликованных не­давно исследований Курта Гёделя[51] общее решение кажется принципиально невозможным, и если бы это подтверди­лось, то это не только представляло бы логический инте­рес, но и имело бы серьезное значение для всей проблемы оснований математики.

И тем самым мы приходим к проблеме, которая больше чем любая другая находилась в центре логических дискус­сий последних десятилетий: проблеме взаимоотношений между логикой и математикой. Эта проблема вызвала на­столько сильный интерес, что она отодвинула в тень почти все другие достижения и проблемы логистики. Поэтому основные черты этой проблемы настолько общеизвестны, что, конечно, было бы совершенно излишне в этой связи ее еще раз кратко обрисовывать, а недостаток места здесь не позволит дать нечто большее, чем набросок[52]. Да будет мне позволено сделать лишь одно-единственное замечание, а именно следующее: если исходить из того, что вся логика состоит только из тавтологических предложений и что все дедуктивные выводы являются всего лишь тавтологиче­скими преобразованиями, то тогда, в случае если матема­тика полностью должна быть сводима к логике, вся она также должна состоять только из тавтологических предло­жений. Эта точка зрения, по-видимому, является господ­ствующей среди логистиков. Мне, однако, представляется, что эту предпосылку нелегко согласовать с той позицией, что математические системы аксиом являются всего лишь функциями от теорий, в которых аксиомы, ни каждая по отдельности, ни все вместе, не являются тавтологическими предложениями, но лишь тогда оказываются тавтологиями, когда их импликативным образом соединяют с выводимы­ми из них теоремами. B этом смысле, на мой взгляд, на различие между логикой и математикой указывают по­следние достижения логистики, которые кратко могут быть сформулированы следующим образом: аксиомы логики яв­ляются тавтологиями по предположению и выводимые из них теоремы тогда также являются тавтологиями, однако аксиомы или постулаты математики являются не тавтоло­гиями, а высказывательными функциями, и тавтологически выводимые из них согласно принципам логической дедук­ции теоремы также не являются тавтологиями, но тавтоло­гиями являются лишь импликативные соединения постула­тов и теорем[53]. Если исходить из этой точки зрения, то во­все не кажется чем-то необычным, что пока еще не удалось доказать все математические аксиомы логически, как об этом с особой ясностью свидетельствует аксиома беско­нечности. Гораздо более странным является то обстоятель­ство, что видимо удалось доказать так много других акси­ом, и мы спрашиваем себя поэтому, благодаря чему, собст­венно, это оказалось возможным. Рассмотрение этого во­проса привело бы нас, однако, к очень сложному исследо­ванию логистических методов определений, поскольку, прежде всего, именно через логистическую структуру ма­тематических понятий пытаются объяснить тавтологиче­ский характер математических предложений об этих поня­тиях. Более подробное рассмотрение этого вопроса завело бы нас здесь слишком далеко и поэтому я хочу ограни­читься тем, чтобы в заключение подчеркнуть, что даже ec- ли и окажется, что логистики будут вынуждены отказаться от их любимой идеи о тождестве логики и математики, все же нет никакой причины усомниться в ценности логисти­ки. Ибо она доказала свою плодотворность уже в столь многих областях, что ее невозможно всерьез поставить под сомнение. Сегодня больше уже нельзя повторить ирониче­ское замечание Пуанкаре[54] в адрес Кутюра: «У Bac уже де­сять лет есть крылья, а Вы еіце ни разу не летали?» Пусть даже логистики пока еще не летают, но все же нельзя от­рицать, что они работают, и что они в логистике, с одной стороны, нашли обширную и важную область исследова­ний, а с другой стороны, изготовили точный инструмент, который не только доказал свою пригодность в деле разра­ботки этой области, но также незаменим для анализа и раз­решения многих философских проблем. Чтобы доказать значимость логистических методов, здесь достаточно будет лишь напомнить о проницательных работах В. Дубислава об определениях, о важных исследованиях Венского круж­ка, посвященных анализу познания и языка, и о Карнапов- ском грандиозном наброске логического построения мира. A ведь все это только начало; ибо логистика - это еще со­всем молодая наука, и я, к сожалению, смог дать лишь са­мый общий обзор ее отдаленных целей и глубоких про­блем. Ho я надеюсь, что недостаточность моего изложения не будет отнесена на счет самой логистики, но в гораздо большей степени послужат для читателя стимулом самому исследовать неисчерпаемое богатство возможностей в сфе­ре логики. Ибо лишь таким образом можно достичь осно­вательного понимания проблем и целей логистики.