§ 6. Обобщенное однородное уравнение.
Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k‑го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k-1)-го измерений.
Например, таким будет уравнение
. (6.1) Действительно при сделанном предположении относительно измерений
x, y, dx и dy члены левой части 
и dy будут иметь соответственно измерения -2, 2k и k-1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k: -2 = 2k = k-1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.
Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки 
, где z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k = -1, то 
, после чего получаем уравнение 
.
Интегрируя его, находим 
, откуда 
. Это общее решение уравнения (6.1).
Еще по теме § 6. Обобщенное однородное уравнение.:
- Однородные уравнения.
- Уравнения, приводящиеся к однородным.
- § 8. Обобщение уравнений трофической цепи
- Лекция 3 Однородные системы линейных уравнений
- § 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
- § 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- 30.Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры.
- Линейные однородные дифференциальные уравнения.
- Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
- Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
- 65. Обобщённая модель регрессии. Обобщённый метод наименьших квадратов. Теорема Айткена
- Задание 331–340. Даны линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
- Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
- Задача 19. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности
- § 5. Дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки (динамические уравнения Эйлера)
- 38. Стилистические функции однородных членов предложения. Ошибки в сочетаниях однородных членов предложения.
- 6.4. Применение дифференциальных уравнений с малым параметром для решения нелинейных трансцендентных и алгебраических уравнений.
- №48. Уравнение Пуассона и Лапласа, тип этих уравнений.