§ 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

Рассмотрим уравнение вида . (5.1)

Если , то это уравнение с помощью подстановки , где и - новые переменные, а и - некоторые постоянные числа, определяемые из системы

Приводится к однородному уравнению

Если , то уравнение (5.1) принимает вид

.

Полагая z=ax+by, приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Проинтегрировать уравнение

и выделить интегральную кривую, проходящую через точки: а) (2;2); б) (1;-1).

Решение.

Положим y=zx. Тогда dy=xdz+zdx и

.

Сократим на и соберем члены при dx и dz:

.

Разделим переменные: .

Интегрируя, получим ;

или , .

Заменив здесь z на , получим общий интеграл заданного уравнения в виде (5.2) или .

Это семейство окружностей , центры которых лежат на прямой y = x и которые в начале координат касаются прямой y + x = 0. Эта прямая y = -x в свою очередь частное решение уравнения.

Теперь режим задачи Коши:

А) полагая в общем интеграле x=2, y=2, находим С=2, поэтому искомым решением будет .

Б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку (1;-1). Зато полупрямая y = -x, проходит через точку и дает искомое решение.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение.

Уравнение является частным случаем уравнения (5.1).

Определитель в данном примере , поэтому надо решить следующую систему

Решая, получим, что . Выполняя в заданном уравнении подстановку , получаем однородное уравнение . Интегрируя его при помощи подстановки , находим .

Возвращаясь к старым переменным x и y по формулам , имеем .