Задача 4

Даны координаты вершин пирамиды

Требуется: 1) записать векторы в системе орт i, j, k и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани АВС; 5) найти объем пирамиды АВСD.

Решение. 1. Произвольный вектор а может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой:

(6)

где — проекции вектора а на координатные оси Ox, Oy и Oz , а i, j и k – единичные векторы, направления которых совпадают с положительным направлением осей Ox, Oy и Oz . Если даны точки и , то проекции вектора на координатные оси находят по формулам:

(7)

Тогда

(8)

Подставив в (8) координаты точек А и В, получим вектор :

.

Аналогично, подставляя в (8) координаты точек А и С, нахдим

.

Подставив в (8) координаты точек А и D , находим вектор :

.

Если вектор а задан формулой (6), то его модуль вычисляется по формуле

. (9)

Применяя (9), получим модули найденных векторов:

.

2. Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей. Находим скалярное произведение векторов :

Модули этих векторов уже найдены: Следовательно,

3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

4. Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах . Обозначим векторное произведение вектора на вектор через вектор Р. Тогда, как известно, модуль вектора Р выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах , а площадь грани АВС будет равна половине модуля вектора Р:

кв. ед.

5. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение РЕШЕННЫХ ЗАДАЧ.files/image099.gif">:

Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD равен 24 куб. ед.