Задача 1.

Даны координаты вершин треугольника АВС: Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до; 4) уравнение высоты CD и её длину;

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.

Решение

1. Расстояние между точками и определяется по формуле

(1)

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

2. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

Разрешая последнее уравнение относительно у, получаем уравнение стороны АВ как уравнение прямой с угловым коэффициентом:

откуда

Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:

или

откуда

3.

(3)

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим

,

тогда или рад.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид

(4)

Высота СD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как то Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим

Чтобы найти длину высоты СD , определим сначала координаты точки D – точки пересечения прямых АВ и СВ . Решая систему

находим: т.е.

По формуле (1) находим длину CD:

5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС. Воспользуемся формулами деления отрезка на две равные части:

.

Следовательно,

; ; Е (18;5).

Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:

;

.

Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим систему уравнений

.

6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент , получим

7. Прямая АВ перпендикулярна прямой CD, поэтому искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка АМ. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:

На рис. 1 треугольник АВС, высота СD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу.