Вычисление интегралов

1) Кривая L задана параметрически : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 .

Тогда, dx = `dt , dy = `dt , dz = `dt и для плоской кривой имеем

Pdx + Qdy = [P((t),(t),(t))(t)` + Q((t),(t),(t))`(t)]dt ( 5 )

2) Кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] . Тогда dy = y`(x)dx и

P(x,y)dx + Q(x,y)dy =[P(x, y(x)) + Q(x,y(x)) y`(x)] dx ( 6 )

Замена переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.

Пример 2. Вычислить, где L: y = x2 +1 от точки А(0, 1) до точки В(1, 2)

Решение.

J = = = = [2x4/4 + 4x2/2] = 2,5

Пример 3. Вычислить J = , где L : x = t2 , y = t , 1 £ t £ 2 .

Решение. x = t2 , dx = 2t dt , y = t , dy = 1 dt , 1 £ t £ 2

J = = [ t2 t 2t + t2 1 ] dt = [ 2t5/5 + t3/3 ] = 14

Задачи для самостоятельного решения

1) Вычислить , где L : y = x2 + 1 от точки А(0, 1) до точки В(1, 2) .

2) Вычислить , где L : y = x2 от точки А(1, 1) до точки В(2, 4) .

3) Вычислить , где L: y = x от точки А(2, 2) до точки В(3, 3)

4) Вычислить по любому пути от точки А(2, 3) до В(5, 5) .

5) Вычислить , где L : x = 2 cos t , y = 2 sin t , t Î [0, p/2] .

6) Вычислить , где L : x = t2 + 1 , y = t – 4 , 1 £ t £ 2 .

7) Вычислить , где L : прямая от А(1,1) до В(3,4) .