Формула Грина

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ( 7 )

позволяет криволинейный интеграл 2 рода по контуру L свести к двойному интегралу по области D , ограниченной контуром L.

Во многих случаях такая замена может существенно упростить решение задачи.

Пример 4. Вычислить J = -x2y dx + xy2 dy , где L : x2 + y2 = R2 .

Решение. P = - x2y , P/y = - x2 ,

Q = xy2 , Q/x = y2 , Q/x - P/y = y2 + x2

J = (y2 + x2) dxdy = {x = r cos , y = r sin } = = 2R4/4

Пример 5. Вычислить J = , где L: y = x2 , y = 3 .

Решение. P = xey , P/y = xey

Q = 2x2 y , Q/x = 4xy , Q/x - P/y = x( 4y – ey )

D: y = x2 , y = 3 ; (-; 3) , (; 3)

Выберем коридор || Оу, его ширина -x ,

а движение по коридору от y = x2 до y = 3 .

D: -x , x2 y3

J = x( 4y – ey ) dxdy = , J1 = =

= x(2y2 – ey)= 18x – xe3 – 2x5 + x , J = [18x – xe3 – 2x5 + x] dx =

= = sh

Задачи для самостоятельного решения

По формуле Грина вычислить следующие интегралы :

1) J = , где L: y = 6 – x2 , y = 3 .

2) J = , где L: y = x2 , y = 2 , x = 0.

3) J = , где L: x2 + y2 = x.

4) J = , где L: xy = 1, x = 0, y = 1, y = 2.

5) J = , где L: x2 + y2 = 4 .

Условия независимости от пути интегрирования криволинейных интегралов 2 рода вдоль кривой L от т.А до т.В :

1) если его значение по произвольному замкнутому контуру равно 0

Pdx + Qdy + Rdz = 0 (8)

2) если его подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции трех переменных U(x,y,z)

Pdx + Qdy + Rdz = dU ( 9 )

3) если выполняются следующие равенства для частных производных от подынтегральных функций

= , = , = ( 10 )

В случае выполнения этих условий вычисляют первообразную функцию U(x,y,z) по полному дифференциалу.

Для этого проводят интегрирование dU от А(x0,y0,z0) до В(x,y,z) по контуру, состоящему из прямых || координатным осям и получают сумму трех простейших определенных интегралов.

Интегрирование dU(х,у) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy

от А(x0,y0) до В(x,y) по такому контуру дает

U(x,y) = + + С ( 11 )