Исследование функции с помощью 2 производной.

Если в точке х0 первая производная функции ƒ(х) равна нулю (ƒ'(х0)=0), а вторая производная в точке х0 существует и отлична от нуля (ƒ"(х0)? 0), то при ƒ"(х0)0.

Выпуклость и вогнутость кривой. Кривая выпуклая вверх на (a,b) если все ее точки лежат ниже любой ее касательной; кривая вогнута вниз если все ее точки лежат выше любой касательной на (a,b). Теорема: если во всех точках интервала (a,b) вторая производная отрицательна, то кривая y=f(x) выпуклая вверх, если во всех точках (a,b) вторая производная положительна, то кривая y=f(x) вогнута вниз. Точки, которые отделяют выпуклую часть от вогнутой называют точкой перегиба. Теорема: пусть кривая определяется уравнением y=f(x), если вторая производная в точке А=0 или не существует и при переходе через точку Х=А вторая производная меняет знак, то точка кривой с Х=А.

Асимптоты. Прямая называется асимптотой кривой если расстояние от переменной точки этой кривой до прямой при удалении точек в бесконечность. Следует, что не любая кривая имеет асимптоту. Прямые асимптоты: вертикальные и горизонтальные. Существуют частные случаи, когда кривая неограниченно приближаясь к своей асимптоте может и пересекать ее, причем и не в одной точке. Наклонная асимптота: ; . Если k=0, то наклонной асимптоты нет, но может существовать горизонтальная асимптота y=b.

Схема исследования функции:

1) область существования функции.

2) четность и нечетность функции.

3) нули функции, промежутки знакопостоянства.

4) промежутки возрастания и убывания.

5) точки экстремума.

6) промежутки вогнутости и выпуклости.

7) точки перегиба.

8) асимптоты.

9) составляем таблицу.

10) построение графика.

9.