Общая схема исследования функций и построения их графиков.
1. Найти область определения функции и поведение функции в границах области определения.
2. Выяснить вопрос о четности, нечетности и периодичности функции.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это не вызывает затруднений).
4. Найти асимптоты графика функции
5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы .
6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба .
7. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования. Если их окажется недостаточно, то следует найти еще несколько точек графика функции, исходя из ее уравнения.
Построение графика функции целесообразно выполнять по его элементам, вслед за выполнением отдельных пунктов исследования.
Пример 9:
Построить график функции 
Решение:
1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. 
. Далее, находим 
.
2. Выясняем вопрос о четности или нечетности функции: 
Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат: 
4. Асимптот нет, так как D(y)=R
5. Находим промежутки монотонности и экстремумы функции: 
Отметим критические точки 1 рода х=0 и х=3 на числовой прямой и исследуем знак производной в каждом из полученных интервалов: 
Функция возрастает при х < 3 и убывает при х > 3; х = 3 – точка максимума, 
6.
Находим промежутки выпуоклости графика функции и точки перегиба.
Итак, 
при 
Отметим критические точки II рода х = 0 и х = 2 на числовой прямой и исследуем знак второй производной в каждом из полученных интервалов: 
График функции является выпуклым при 
и 
и вогнутым при 
Точки перегиба графика функции (0; 0) и (2; 3,2).
Отметим все полученные точки в системе координат и соединим их плавной кривой.
Для уточнения графика найдем дополнительную точку у( – 1)= –1