ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Рис.

Площади плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком непрерывной функции (где ), отрезком ab оси Ох и отрезками прямых х=а и х=b, вычисляется по формуле (1)

Пример 10:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой ху=1, осью Ох и прямыми х=1 и х=е (Рис. 2)

Решение:

Применяя формулу (1), получаем

кв. ед.

Пример 11:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=х2, прямыми х = – 1, х = 2 и осью абсцисс (Рис. 4)

Рис. 3 Рис. 4

Решение:

Применяя формулу (1), получаем

кв. ед.

Площадь фигуры ABCD, ограниченной графиками непрерывных функций и (где ) и отрезками прямых х=а и х=b, вычисляется по формуле

(2)

Пример 12:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

у = 6х – х2 – 5 и осью Ох (Рис.

Решение:

Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций у=6х-х2-5 и у=0 (ось Ох). Для этого решим систему Имеем 6х – х2 – 5= 0, х2 – 6х+5=0,

Теперь найдем искомую площадь по формуле (1):

Рис. 5 Рис. 6

Пример 13:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2 и у2=х (Рис. 6)

Решение:

Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций у=х2 и у2=х. Для этого решим систему Имеем (х2)2=х, х4 – х = 0, х(х 3 – 1)=0, х1= 0, х2=1

Искомую площадь вычисляем по формуле (2) при

Пример 14:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у=4 – х2 и у = х2 – 2х (Рис. 7)

Решение:

Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций у=4-х2 и у=х2-2х. Для этого решим систему Имеем 4 – х2=х2 – 2х, 2х2 – 2х – 4=0, х2 – х – 2=0,

Искомую площадь вычисляем по формуле (2):

Рис. 7

Объём тела вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции aABb, ограниченной непрерывной кривой (где ), отрезком ab оси Ох и отрезками прямых х=а и х= b , вычисляется по формуле (3)

Пример 15:

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у2=2х, прямой х=3 и осью Ох.

Решение:

Применяя формулу (3), находим

Пример 16:

Вычислить объём шара радиуса R.

Решение:

Шар образован вращением вокруг оси Ох круга, ограниченного окружностью х2 + у2 = R2 с центром в начале координат и радиусом R.

Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, сначала найдем по формуле (3) половину искомого объема:

Следовательно,

Пример 17:

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной осью Ох и полуволной синусоиды .

Решение:

Применяя формулу (3), находим

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции aABb, ограниченной непрерывной кривой x=f(y) (где ), отрезком ab оси Оу и отрезками прямых у=а и у=b, вычисляется по формуле . (4)

Путь, пройденный точкой.

Если точка движется прямолинейно и ее скорость есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени , вычисляется по формуле

(5)

Пример 18:

Тело движется прямолинейно со скоростью .

Решение:

Применяя формулу (5), находим

(м)

Пример 19:

Скорость прямолинейно движущегося тела равна . Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Решение:

В момент остановки скорость движения тела равна нулю, т.е.

Итак, тело остановится через 4 с.

Путь, пройденный телом за это время, вычисляем по формуле (5).

Работа силы.

Если переменная сила F=F(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке вычисляется по формуле

(6)

Пример 20:

Вычислить работу, которую нужно совершить при сжатии пружины на 0,08 м, если для её сжатия на 1см требуется сила 10 Н.

Решение:

Согласно закону Гука, сила F, растягивающая или сжимающая пружину на х метров, равна F = kx, где k – коэффициент пропорциональности.

Из условия следует 10 = k? 0,01, т.е. k = 1000, и, следовательно, F = kx = 1000 х.

Искомую работу находим по формуле (6):

(Дж)

Пример 21:

Сила 196,2 Н растягивает пружину на 18 см. Какую работу она производит?

Решение:

По закону Гука, F=kx, откуда k= F/х=196,2/0,18=1090 (Н/м). Значит, F = 1090 х. Находим искомую работу:

(Дж)

Пример 22:

Для сжатия пружины на 3 см необходимо совершить работу в 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу в 144 Дж?

Решение:

По закону Гука, F = kx; тогда

Т.

Значит, F=(320000/9)х.

Далее, имеем

Но А2=144 Дж, то есть =144,

Итак, пружину можно сжать на 9 см.

Сила давления жидкости

Сила давления р жидкости плотности на вертикальную пластинку, погруженную в жидкость, вычисляется по формуле:

(7)

где g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения, S – площадь пластинки, а глубина погружения пластинки изменяется от a до b.

Пример 23:

Вычислить силу давления воды на одну из стенок аквариума, имеющего длину 30 см и высоту 20 см.

Решение:

Стенка аквариума имеет форму прямоугольника, поэтому S = 0,3 х, где . Плотность воды равна 1000 кг/м3. Тогда сила давления воды на стенку аквариума согласно формуле (7) составляет

Пример 24:

Вычислить силу давления бензина на стенки цилиндрического бака высотой 3 м и радиусом основания 1 м.

Решение:

Площадь поверхности стенки цилиндрического бака Плотность бензина есть 800 кг/м3. Тогда сила давления бензина на стенки бака составляет