27.Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.
1) Пусть функция 
неотрицательна и непрерывна на отрезке 
.
криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
и прямыми 
(рис. 10.2) численно равна определенному интегралу: 
. (11. 1)
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
 | Решение. 1 способ. Из рисунка 11.1 видно, что искомая площадь равна: откуда для точки
|
. Найдем координаты точки 
: 
, 
, а для точки 
имеем 
. 
; 
; 
2 способ.
Если уравнение кривой записать в виде
, то искомая площадь будет 
: 
. 2) Если функция 
неположительна и непрерывна на отрезке 
(рис. 11.2), то площадь
 |  над кривой  на  отличается знаком от определенного интеграла:
|
т.е 
. (11. 2)Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 
и осью абсцисс.
Решение. На рис. 11.3 приведена плоская фигур, ограниченная параболой 
, вершина которой находится в точке 
, и осью 
. Парабола пересекает ось 
в точках с координатами 
и 
.
 |    (ед. ). |
3) Теорема. Если на отрезке 
заданы непрерывные функции 
и 
такие, что 
(рис. 11.4).
 | Тогда площадь  фигуры, заключенной между кривыми  и  на отрезке , вычисляется по формуле:
|
. (11.3)Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
 |  . Решение. Из рис. 11.5 видно, что искомая площадь находится по формуле (11.3), полагая
|
. 
.