8. Геометрические и физические (механические) приложения определенного интеграла.
Физические приложения интеграла:
o Вычисление пути материальной точки, движущейся по прямолинейной или криволинейной траектории по скорости ее движения
o Вычисление кинетической и потенциальной энергии тела в поле сил.
o Вычисление моментов, центров тяжести и центров масс.
o Вычисление массы тела на основе плотности.
o Вычисление работы переменной силы.
o Вычисление потока света по спектральному распределению световой интенсивности.
Физические задачи.
Путь пройденный телом со скоростью v(t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом
o S=∫t1t2v(t)dt.
Работа переменной силы f(x), действующей вдоль оси Ox на отрезке [a,b], выражается интегралом
o A=∫abf(x)dx.
Геометрические приложения интеграла:
o Отыскание площади фигуры по заданному уравнению границы этой фигуры.
o Отыскание объема тела по известному уравнению ограничивающей его поверхности.
o Отыскание длины дуги криволинейной траектории по известному уравнению этой траектории.
o Отыскание площади поверхности по ее уравнению.
Те физические величины, которые определяются с помощью интеграла как правило называются интегральными, а те величины, через которые выражаются интегральные величины - дифференциальными.
Например плотность тела в точке - это дифференциальная характеристика тела, а масса тела - интегральная.Дифференциальные характеристики определяются значением в точке и как правило различны в различных точках пространства.
Интегральные характеристики всегда выражают свойства объектов, относящиеся к целой области пространства. Например масса характеризует тело целиком как некоторый объект занимающий область пространства. Путь, пройденный телом - это тоже интегральная характеристика, поскольку она характеризует целую траекторию, состоящую из множества точек, а скорость различна в каждой точке траектории и характеризует каждую точку в отдельности.
Площадь плоской фигуры.
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции y=f(x)(f(x)≥0),двумя прямыми x=a и x=b и осью Ox, или площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой графика функции y=f(x),a≤x≤b (рис. 1) вычисляется по формуле
S=∫abf(x)dx.
Длина дуги кривой.
Если гладкая кривая задана уравнением y=f(x), то длина l ее дуги равна
где a и b− абсциссы концов дуги.
Площадь поверхности вращения.
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой, заданной функцией y=f(x),a≤x≤b вычисляется по формуле
