ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, ее производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции).

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество по х.

Общее решение, записанное в неявном виде Ф (х, у ,С) = 0, называется общим интегралом.

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении С: , где С0 – фиксированное число.

Частным интегралом уравнения называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении С: Ф (х, у ,С0) = 0.

График любого частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению (и общему интегралу) этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра.

Задача нахождения частного интеграла дифференциального уравнения п – го порядка (п = 1, 2, 3, …), удовлетворяющего начальным условиям вида у(х0)=у0, , называется задачей Коши.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0. Другими словами, из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить ту, которая проходит через данную точку (х0, у0).

Пример:

Составить уравнение кривой , если угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой равен 2х.

Решение:

Так как на основании геометрического смысла производной , то получим дифференциальное уравнение первого порядка:

Чтобы найти искомую функцию , надо проинтегрировать обе части уравнения . Отсюда получим общее решение дифференциального уравнения: у=х2+С. Геометрически это решение представляет собой семейство парабол с вершиной на оси Оу, симметричных относительно этой оси.

Чтобы из общего решения выделить частное решение, надо задать начальные условия. Пусть у = –1 при х=1; тогда общее решение примет вид: –1 = 1 + С, откуда С= – 2. Геометрически частное решение у = х2 – 2 представляет собой параболу, проходящую через точку (1; –1).

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.

Уравнение вида f(x)dx+φ(y)dy=0,где f(x) и φ(y)- данные функции, называется уравнением с разделенными переменными.

Это уравнение можно переписать в виде f(x)dx=-φ(y)dy и рассматревать как равенство двух деффиренциалов.Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

Пример:

Решить уравнение ydy = xdx. Найти частное решение, удовлетворяющее условию y = 4 при х= –2.

Решение:

Это уравнение с разделенными переменными.

Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде С/2.

Тогда у2= х2+С

Подставив в общее решение значения y = 4 и х= –2, получим 16 = 4 + С, откуда С = 12.

Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид у2 = х2+12.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Общий вид такого уравнения:

где Х(х), Х1(х) – функции только от х, Y(у), Y1(у) – функции только от у.

Поделив обе части уравнения на произведение Х1(х) Y(у), получим уравнение с разделенными переменными:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Замечание. Если произведение Х1(х) Y(у)=0 при х=а и у=b, то эти функции х=а и у=b являются решениями дифференциального уравнения при условии, что при этих значениях х и у уравнение не теряет числового смысла. Геометрически эти решения представляют собой прямые, параллельные осям координат.

Пример:

Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию при х = 1.

Решение:

Разделим каждый член уравнения на произведение :

Интегрируя, находим:

После потенцирования получим или , где .

Произведение при ; так как при этом значении дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, то - решение уравнения. Но оно входит в интеграл при С = 0. Значит, общий интеграл уравнения имеет вид .

Подставив в общий интеграл значения и х=1, получим 1 = С/4, откуда С = 4. Итак, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному условию, имеет вид

Числовые ряды

1. Основные понятия. Числовым рядом называется сумма вида:

(1)

где числа u1, u2 ,u3 …, un …., называемые членами ряда, образуют бесконечною последовательность; член un называется общим членам ряда.

Суммы

S 1= un ,

S 2= u1 + u2,

S3 = u1 + u2 + u3,

. . . . . . .

Sn = u1 + u2 + u3 + … + un,

составленные из первых членов ряда (1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S1, S2, S3, …. , Sn … . Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда Sn стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда, т.е.

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма Sn ряда (1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела ( в частности, стремится к +∞ или

к -∞ ), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходится, то значение Sn при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Найти сумму членов ряда:

Находим частичные суммы членов ряда:

Запишем последовательность частичных сумм: …. .

Общий член этой последовательности есть

Следовательно,

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный 1/2. Итак, ряд сходится и его сумма равна 1/12.

Необходимый признак сходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами

1.Необходимый признак сходимости ряда. Ряд может сходиться только при условии, что его общий член un при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:

Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

2. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

а) Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда: исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами

выполняется условие , то ряд сходится при l 1.

Признак Даламбера не дает ответа, если l=1. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

Подставив в общий член ряда вместо n число n+1, получим . Найдем предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену при n→∞:

Следовательно, данный ряд сходится.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.

Числовой ряд

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд (1) называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости Лейбница дли знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член un стремится к нулю при n→∞. то ряд (1) сходится.

Этот признак служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

составленный из абсолютных величин его членов, т. е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд (1) сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд (2) расходится, то данный ряд (1) называется условно (неабсолютно) сходящимся. Заметим, что из расходимости ряда (2) в общем случае не следует расходимость ряда (1).

Для установления абсолютной сходимости знакопеременного (и знакочередующегося) ряда используются тс же признаки, что и для сходимости ряда с положительными членами.

Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знакочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда.

Если при исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно.

1. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1)

Решение

1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: 1 >>>> … и Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд

составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Элементы и множества.

Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. Можно сказать, что множество – это любая определенная совокупность объектов. Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Элементы множества различны и отличимы друг от друга.

Пример

Множество S страниц в данной книге. Множество N натуральных чисел 1, 2, 3, … Множество P простых чисел 2, 3, 5, 7, 11,… Множество Z целых чмсел:…,-2, -1, 0, 1, 2,… Множество R вещественных чисел. Множество А различных символов на этой странице.

Если объект х является элементом множества М, то говорят, что х принадлежит М. Обозначение: x В противном случае говорят, что х не принадлежит М. Обозначение: х

Обычно множества оьозначаются прописными буквами латинского лфавита, а элементы множеств – строчными буквами.

Множества, как объекты, могут быть элементами других множеств. Множество, элементами которого являются множества, обычно называется классом или семейством.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым. Обозначение:

Обычно в конкретнох рассуждениях элементы всех множеств беруться из некоторого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая), которое называется универсальным множеством (или универсумом).

Задание множеств.

Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежит. Это можно сделать различными способами:

перечислением элементов: М:={};

характеристичекским предиктом: М:={х|Р(х)};

порождающей процедурой: М:={x|x:=f}.

Перечислением можно задавать только конечные множества. Бесконечные множества задаются характеристическимпредикатом или порождающей процедурой.

Операции над множествами. Сравнение множеств.

Множество А содержится в множестве В (множество В включает множество А), если каждый элемент А есть элемент В:

А

В этом случае А называется подмножеством В, В – надмножеством А. Если А и Аclass="lazyload" data-src="/files/uch_group38/uch_pgroup166/uch_uch592/image/677.gif">, то А называется собственным подмножеством В. Заметим, что М

По определению

Если требуется различать собственные и несобственные подмножества, то для обозначения включения собственных подмножеств используется знак а для несобственных -

Два множества равны, если они являются подмножествами друга друга:

Мощность множества М обозначается |M|. Для конечно множеств мощность – это число элементов. Например, ||=0, но |{}|=1. Если |A|=|B|, то множества А и В называются равномощными.

Обычно рассматриваются следующие операции над множествами:

объединение:

пересечение:

разность:

симметрическая разность:

доплнение:

Операция дополнения подразумывает некоторый универсум

Пример

Пусть Тогда

На рис1. приведены диараммы Эйлера, иллюстриющие операции на множествами. Сами исходные множества изображаются фигурами (в данном случае для выделения использована штриховка).

Операции пересечения и объединения допускают следующее обобщение. Пусть I – некоторое множество, элементы которого используются как индексы, и пусть для любого множество известно. Тогда

, .

Свойства опреаций над множествами.

Пусть задан универсум U. Тогда выполняется следующие свойтва. идемпотентность:

коммутативность:

ассоциативность:

дистрибутивность:

поглащение:

свойство нуля:

свойство единицы:

инволютивность:

закон деМоргана:

= свойства дополнения:

выражение для разности:

Основное определение

Графом G(V,E) называется совокупность двух множеств – непустого множества V (множества вершин) и множества Е неупорядоченных пар различных элементов множества V(E - множество ребер).

Число вершин графа G обозначим р, а число ребер – q:

Диаграммы

Обычно граф изображают диаграммой: вершины – точками (или кружками), ребра – линиями.

Пример

На рис.2 приведен пример диаграммы графа, имеющего четыре вершины и пять ребер. В этом графе вершины и и и и , и смежны, а вершины и не смежны. Смежны ребра: и , и , и , и , и , и , и , и . Несмежные ребра: и , и .

Рис.2. Диаграмма графа.

Элементы графов. Подграфы. Валентность

Граф называютя подграфом графа (обозначается если и/или

Если , то называется остовым графом G.

Если , то граф называется собственным подграфом графа G.

Подграф называется правильным подграфом графа , если содержит в себе все возможные ребра G:

Правильный подграф графа определяется подмножеством вершин .

Количество ребер, инцидентных вершине v, называется степенью (валентностью) вершины v и обозначается d(v):

,

Обозначим минимальную степень вершины графа G через а максимальную – через

Если степени всех вершин равны k, то граф называется регулярным степени k:

Степень регулярности является инвариантом графа и обозначается r(G).Для нерегулярных графов r(G) не определено.

Пример

На рис.3 приведена диаграмма регулярного графа степени 3.

Рис. 3. Диаграмма регулярного графа степени 3.

Если степень вершины равно 0 (то есть d(v)=0), то вершина называется концевой, или висячей.

Для орграфа число дуг, исходящих из вершины v, называется полустепенью исхода, а входящих – полустепенью захода. Обозначаются эти числа, соответственно, и

Теорема (Эйлера) Сумма степеней вершин графа равна удвоенному количеству ребер:

,

Доказательство

При посчете суммы степеней вершин каждое ребро учитывается два раза: для одного конца ребра и для другого.

Маршруты, цепи, циклы

Маршрутом в графе называется чередующаяся последрвательность вершин и ребер

В которой любые два элемента инцидентны.

Замечание

Это определение подходит также для псевдо-, мульти-, и орграфов. Для «обычного» графа достаточно указать только последовательность вершин или только последовательность ребер.

Если , то маршрут замкнут, иначе открыт.

Если все ребра различны, то маршрут называется цепью. Если все вершины (а значит, и ребра) различны, то маршрут называется простой цепью. В цепи вершины и называются концами цепи. Говорят, что цепь с концами u и v соединяет вершины u и v. Цепь, соединяющая вершины u и v обозначается (u , v). Очевидно,что если есть цепь, соединяющая вершины u и v, то есть и простая цепь, соединяющая эти вершины. Замкнутая цепь называется циклом; заикнутая простая цепь называется простым циклом. Число циклов в графе G обозначается z(G).Граф без циклов называется ациклическим.

Пример

Рис 4. Маршруты, цепи, циклы

В графе, диограмма которого приведена на рис.4:

1. v1,v3,v1,v4- маршрут, но не цепь;

2. v 1,v3,v5,v2,v3,v4- цепь но не простая цепь;

3. v 1 ,v4 ,v3 ,v2 ,v5,- простая цепь;

4. v 1 ,v3 ,v5 ,v2 ,v3 ,v4 , v1- цикл, но не простой цикл;

5.v1,v3,v4- простой цикл.