Обобщенный подход к математическому описаниюдетерминированных сигналов

N

xm(t) = k Ф k(t) (1.55)

k

где: фk(t) - координатные (базисные) функции;

X k - параметры модели сигнала или коэффициенты разложения сигнала в ряд по функциям ф k(t).

Модель всегда отличается от самого сигнала, то есть всегда существует разница

xm(t)-x(t)

Станем рассматривать сигнал на отрезке 0 < t < T, а в качестве критерия адекватности модели возьмем величину

T

A = J {xm(t) - x(t)} dt - квадратичную погрешность или 0

взвешенную квадратичную погрешность

T

5 = J{m(t) - x(t)}p(t)dt (1.56)

0

p(t) - весовая функция, выбираемая из технических условий и вводимая для того, чтобы на данном временном отрезке обеспечить наилучшую адекватность модели.

T T T

5 = J xm(t)p(t)dt - 2J xm(t)x(t)p(t)dt + J x2(t)p(t)dt

0

Рассмотрим 5 как функцию параметров модели X : 5 > 0, 5, квадратичная форма и поэтому имеет единственный экстремум минимум.

Условия экстремума функции нескольких переменных :

д5

0,(m = 0, N)

dX m

dXL = 2] xm(t) p(t)dt - x(t)p(t)dt = 0

dX m 0 dX m 0 dX m

] xm(t) ^ P(t)dt = jJ^dxiil) x(t)p(t)dt

0 dX m 0 dX m

О dxm(t)

Однако, —-— = ф m (t) ,подставляем в наше выражение dX m

TT J xm(t^ m (t)p(t)dt = Jф m(t)x(t)p(t)dt

и подставляем в это соотношение выражение для модели

N

xm(t) = IX k ф k(t)

k=0

N T T

IX k J {ф k(t№ m(t)p(t)dt} - Jф m (t)x(t)p(t)dt = 0 (1.57)

k=0 0 0

То есть, чтобы отыскать параметры X k ,необходимо решить систему (N+1) уравнений с (N+1) неизвестными, что достаточно

неудобно. Но существует и другой путь.

Если выполняются условия ортогональности базисных функций,

T

|Ф k(t)9 m (t)p(t)dt

0

0, k Ф m

Фk(t)фm(t)p(t)dt = Pm, k = m

то наше выражение примет вид

T

T

X m |ф 2m(t)p(t)dt - |ф m(t)x(t)p(t)dt = 0

0 0 T

Xmвm - |Фm(t)x(t)p(t)dt = 0

0

Таким образом система уравнений сводится к совокупности (N+1) уравнений, каждое из которых имеет единственное неизвестное, которое может быть найдено :

(1.58)