Метод максимального правдоподобия

Пусть в результате статистического наблюдения получена выборка X = {х„ і = 1, и }, которая описывается некоторой моделью W(X;Q). Согласно методу максимального правдоподобия [1, 3, 5, 10] искомые оценки QMn определяются из условия

L(xb ..., хп; ©мп)~maxL(x\, ..., хп; 0),

ё

где L - функция правдоподобия, определяемая как

L(xl,...,xn-,Q) = f\W(xi,Q).              (31)

/=1

При условии независимости элементов х, выражение (31) дает совместную плотность вероятностей - меру правдоподобия получения {х,} при каждом формальном 0.

найти значение 0, максимизирующее функцию правдоподобия.

Вместо L удобнее работать с In L, поскольку от работы с произведением можно перейти к работе с суммами. Кроме того, в большинстве случаев удается избавиться от экспоненциальной зависимости в плотности распределения вероятности.

Таким образом, МП-оценки параметров 0 ищутся из системы уравнений:

'0ШІ= о_

00!

8\х\Ь

= 0,

дв.

где к - количество искомых оценок параметров.

Необходимо оценить параметры а и Я экспоненциального распределения модели методом максимального правдоподобия. Составим функцию правдоподобия L и получим In L

МП-оценки амп и Хмп ищем из системы уравнений:

= 0, = 0.

SlnZ

да

5 In L

дХ

= — = 0, что недопустимо. Следовательно, оценки амп для

да X

экспоненциальной модели не существует. Действительно, в точке х = а плотность вероятности экспоненциального распределения претерпевает разрыв первого рода.

^-1 + М

дХ 'X Xі

Э1п L

Найдем Хмп.

(=1

= 0,

= п,

?(*/-lt;»

/=1

па

т1- а.

gt; —,=| ЛМП -

п              п              п

Из последнего выражения следует, что если параметр а неизвестен, то, поскольку амп не существует, для получения ХМп Не" обходимо иметь некоторую другую оценку параметра а, например ам , полученную по методу моментов.

Пример 15. Цена различных типов электроприборов в магазине (в тыс. руб.) представлена в группированном виде:

Необходимо подобрать гипотетическую модель, описывающую эмпирические данные.

Получим оценки:

щ =1,23тыс.руб., о = 1,18тыс. руб, (if =3,57, р2=8,11.

Оценки р| и Р2 позволяют в качестве модели, аппроксимирующей эмпирическое распределение, выбрать экспоненциальную модель (см. п. 2.3) с плотностью вероятностей, определяемой выражением (28).

Пример 16. Для данных примера 15 найти МП-оценки параметров экспоненциальной модели.

Для экспоненциальной модели (28) оценки параметров, полученные по методу моментов, равны

Ям = 6 = 1,18 тыс. руб., ам =щ -Ям =1,23-1,18 = 0,05 тыс. руб.,

Подставляя значение ам в выражение для gt;.мп, получим ^мп = Щ - ам = 1,23 - 0,05=1,18 тыс. руб.

Для экспоненциальной модели Ащ! = ХМ.