Метод моментов

Пусть некоторая непрерывная случайная величина X описывается моделью W(X;Q). Необходимо оценить неизвестные параметры 0 модели по выборке конечного объема X = {х„ i = \,n}, полученной из генеральной совокупности.

Суть М-оценивания состоит в приравнивании оценок моментов (начальных, центральных) эмпирического распределения соответствующим теоретическим моментам выбранной модели, являющимся функциями неизвестных параметров модели [1, 5, 9, 10], и в решении полученной системы уравнений.

Количество уравнений в системе определяется количеством искомых параметров.

Начальные и центральные теоретические моменты порядка к могут быть получены из выражений

тк = jxkW(X;Q)dx = mk(Q);

х

Ц/t = J(* - Щ )* ЩХ; Q)dx = ц* (0),

X

а их оценки тк и р.* - по выборке объема п. Полагая, что тк и Д4 являются состоятельными оценками характеристик

%(0) и ц*(0) (см. п. 1.4.1), приравняем их друг другу и получим систему уравнений

Решая ее относительно неизвестных параметров 0, получим М-оценки вм.

Пример 14. Для статистических данных к примеру 13 оценить параметры модели нормального распределения, выбранной в качестве гипотетической. Из п. 2.2.1 следует, что плотность вероятностей нормальной модели имеет вид (27), а теоретические

7              9              9

моменты ті = а, а = X . Оценки щ и о , полученные по группированной выборке в предыдущем примере, щ =78,92 млн. руб.,

р2 = 52,15 млн. руб.2

9              — 9

Составляя систему уравнений mi = щ, а = а и решая ее, получим ам = щ, Лм = а .

Следовательно, М-оценки параметров а и А, нормальной модели равны а = 78,92 млн. руб., Х = 7,22 млн. руб. В окончательном виде модель нормального распределения может быть представлена выражением

_(?~78?92 )2

W(X] 78,92, 7,22) =              104’31              .

7,22v2n

Метод моментов относительно прост, но есть распределения, для которых функциональная зависимость между моментами и параметрами достаточно сложна [8, 9]. В этом случае для М-оценивания необходимо привлечение численных методов. М-оценки, как правило, несмещенные, но они менее эффективны, чем МП-оценки. Поэтому, выбирая метод оценивания параметров, необходимо выделить критерий или совокупность критериев качества оценок (простота вычисления, несмещенность, эффективность, состоятельность и другое), наиболее значимых в данном случае. И только после этого выбирать метод оценивания. Более глубоко методы оценивания параметров распределений описаны в

[9, Ю].