§ 6. О среднем времени жизни популяции
Рассмотрим ситуацию, когда на популяцию действуют возмущения, интенсивность которых мала по сравнению с динамическими факторами, определяющими ее эволюцию. Пусть эта эволюция описывается детерминистским уравнением
или, более конкретно, логистическим уравнением, так что
Пусть случайные возмущения в различные моменты независимы и однородны по времени, т.
е. их можно описать процессом типа «белого шума» „ Тогда
где
і — некоторый малый параметр, характеризующий малость случайных возмущений. Пусть система находится вблизи устойчивого равновесия — область при
тяжения этой точки. Тогда в качестве меры устойчивости этого равновесия по отношению к случайным возмущениям можно взять среднее время tj, котороепонадобится для выхода траектории, начинающейся в
Поскольку
5 6. О СРЕДНЕМ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ ПОПУЛЯЦИИ
35
— случайная величина, то естественно рассматривать математическое ожидание
этой величины.
можно сформулировать некоторую краевую задачу, однако эта задача оказывается довольно сложной, а получающаяся характеристика — излишне громоздкой. Поэтому при малых е в качестве мепы устойчивости естественно взять главный член
при Оказывается, что 
где
— некоторая константа, которая и определяет меру устойчивости относительно случайных возмущений
Опишем способ вычисления константы сх. Оказывается, что если записать
' в виде
т. е. ввести некоторый квазипотенциал
V, то
где
— границ:
Если f (N) имеет логистическую форму, то
Из этого выражения видно, что при увеличении коэффициента естественного прироста а и емкости среды К среднее время жизни популяции увеличивается, причем величина емкости среды более важна для выживания. Если записать логистическое уравнение в другой гЬопме. чепез коэффициент внутривидовой конкуренции
то
а*
Интерпретация этого соотношения также достаточно очевидна: усиление внутривидовой конкуренции уменьшает среднее время жизни, однако этот эффект более слабый, чем приводящее к аналогичным последствиям уменьшение естественного прироста.
Рассмотренный пример показывает, как даже небольшие, но постоянно действующие возмущения могут «расшатать» и привести к гибели популяцию, которая в отсутствие возмущений могла бы существовать неограниченно долго.