Г лава 3 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

В этой главе мы познакомим читателя с элемен­тарными математическими понятиями, которые по­надобятся нам при изложении материала III, IV и V частей. Заметим, что знание даже этих простейших поня­тий поможет читателю ориентироваться во многих спе­циальных вопросах.

Рассмотрим прежде всего элементарные представления из области теории множеств. Понятие множества является исходным и не определяется. Множеством может быть названа любая совокупность (класс, собрание) эле­ментов, причем каждый элемент считается ровно один раз. Говорят, что элементы принадлежат множеству (обозначение: аеМ). Множество может быть конечным (ср. пример выше) и бесконечным (таково множество чисел {/, 2,3, ..., я,...}, образующих натуральный ряд). Оно мо­жет содержать один элемент (одноэлементное множество) или не содержать ни одного элемента (пустое множество). Важной характеристикой множества является его мощ­ность; для конечного множества — это просто число его элементов. Число элементов конечного множе­ства, или, иными словами, его мощность, обозначается прямыми скобками: \М\ — мощность множества М.

Мощность множества {а, b, с} равна трем. Пере­сечением множеств М и N называется такое множество M[\N (П—знак пересечения), элементы ко­торого принадлежат одновременно и М и N. Так, пере­сечением множеств {/, 2, 3} и {2, 3, 4, 5} является мно­жество {2, 3}, а пересечение множеств {/, 2, 3} и {4, 5у 6у 7} пусто. Графически пересечение обозначается, как показано на рис. За. Объединением, или суммой, множеств М и N называется такое множество M[}N (U —знак объединения), каждый эле­мент которого принадлежит хотя бы одному из этих мно­жеств. Так, объединением множеств {/, 2, 3} и {2, 3, 4, 5} является множество {1, 2, 3, 4, 5}, а объединением мно­жеств {7, 2, 3} и {4, 5, 3, 7} является множество {/, 2, 3, 4, 5, 3, 7}. Графически объединение изображается, как показано на рис.

а

8

С

Рис. 3.

данного множества не пересекаются, причем каждый эле­мент входит в какое-нибудь подмножество, то говорят, что на данном множестве задано разбиение, причем входящие в него подмножества называются классами разбиения. Деление людей на мужчин и женщин является разбиением, а деление людей на знающих ино­странные языки и высоких таковым не является, так как часть знающих иностранные языки людей высокого роста, а часть высоких людей знает иностранные языки.

В некотором множестве могут выделяться единички, пары, тройки и вообще п-ки элементов (кортежи длины п). Так, в множестве {1, 2, 3} имеются следующие пары (кортежи длины два): , , , , , , , , . Некоторое множест­во л-ок называется отношением на данном множестве. Особенно важными для лингвиста являются бинар­ные отношения эквивалентности и порядка; бинар­ными они называются потому, что в них входят пары элементов. Рассматриваются следующие свойства бинар­ных отношений (мы будем их иллюстрировать на примере хорошо всем известных отношений «быть равным» и «быть больше»):

1) Рефлексивность. Бинарное отношение R обладает свойством рефлексивности, если имеет место aRa

для любого элемента а, т. е. если любой элемент данного множества находится в отношении R к самому себе. От­ношение «быть равным» рефлексивно (5=5, 2=2 и т. д.), а отношение «быть больше» иррефлексивно (ни для одного а неверно, что а >я).

2) Симметричность. Бинарное отношение R обладает свойством симметричности, если из aRb следует bRa для любых а и Ь, входящих в это отношение. Отноше­ние «быть равным» симметрично (из а = b следует Ь = а), а отношение «быть больше» асимметрично (если а >Ъ, то заведомо неверно, что b > а).

3) Транзитивность. Бинарное отношение R обладает свойством транзитивности, если из aRb и bRc следует aRc для любых пар, входящих в это отношение. Отношение «быть равным» транзитивно (из а = Ъ и b = с следует а = с). Отношение «быть больше» также тран­зитивно (из а >6 и b > с следует а >с).

Бинарное отношение R называется эквивалент­ностью, если оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Равенство есть частный случай эквивалентности. Бинарное отношение R называет­ся отношением строгого порядка, если оно иррефлексивно, асимметрично и транзитивно. Таково отношение «быть больше». Важными являются и отноше­ния частичного порядка, которые рефлексивны, симметричны только в случае равенства а и b и транзитив- ны. Примером частичной упорядоченности является отно­шение «больше или равно» (а ^ b).

Существует интересная связь между разбиениями и эквивалентностями, состоящая в том, что каждому раз­биению данного множества соответствует некоторое отно­шение эквивалентности, а каждое отношение эквивалент­ности ид данном множестве порождает некоторое его раз­биение.

Теперь покажем в самых общих чертах (подробности читатель найдет в III, IV и V частях книги), каким обра­зом введенные здесь понятия могут быть использованы лингвистом. В лингвистике мы имеем дело смножест- в а м и элементов (звуков, фонем, морфем, словоформ, слов, словосочетаний, предложений), причем: 1) языко­вые единицы довольно часто определяются как классы эквивалентных единиц текста (фонемы — как классы звуков, морфемы — как классы морфов, слова — как классы словоформ, значения — как классы употреб­лений); 2) языковые единицы классифицируют- с я (фонемы — на гласные и согласные, слова — на части речи и т. д.), а всякая корректно построенная классифика­ция должна представлять собой р а з б и е и и е; 3) язы­ковые единицы внутри класса и классы внутри классифи­кации часто представляются в виде «иерархии» (ср. «глав­ный» член парадигмы, «исходное» слово словообразова­тельного гнезда, «основные» части речи, «главные» и «вто­ростепенные» члены предложения), а всякая иерархия предполагает некоторое отношение порядка.

Отчетливое понимание своих действий при решении названных здесь и других аналогичных вопросов поможет лингвисту избежать неточностей и ошибок, которые в противном случае будут неизбежны.

Рассмотрим теперь некоторые элементарные понятия теории графов, находящей все более широкое применение в самых различных областях лингвистики, в особенности в синтаксисе, где основные объекты этой теории — графы и деревья — используются для описания синтаксической структуры предложений.

Г р а ф о м называется пара множеств, одно из кото­рых (ребра, ср. отрезки ab, ас, ad, ае, af, bf, be, bd, be, cf, ce, cd, df, de, ef на рис. 4 (2)) находится в одно-двузначном соответствии с другим (вершины, ср. точки а, Ь, с, d, е, / на рис. 4 (2)); каждому ребру соответствуют две вершины. Примеры графов см. на рис. 4, стр. 117.

Графы, в которых любая пара точек соединена ребром, называются п о л и ы м и. На рисунке 4 полными являют­ся графы (1) и (2), а все остальные — неполными. Ломаная линия^[38], соединяющая какие-нибудь две вершины графа, называется путем из одной вершины в другую. Путь, начало которого совпадает с концом, образует цикл. На нашем рисунке графами с циклами являются

(1) , (2) и (3). В частности, в графе (2) цикл образует лю­бая тройка, четверка, пятерка и шестерка точек. Граф, в котором из любой точки можно пройти в любую другую точку, называется связным; если это условие не вы­полнено, то граф называется несвязным. На нашем ри­сунке все графы, за исключением (5), связные. Связный граф, не содержащий циклов, называется д е р е в о м. На нашем рисунке деревом является только граф (4); остальные графы деревьями не являются. Ребра дерева иногда на­зываются ветвями, а вершины — узлами. Ребра графа можно ориентировать, показав, в каком направлении следует переходить из одной точки в другую; для этого достаточно нарисовать стрелку на одном из концов ребра. Граф с ориентированными ребрами называется ориен­тированным; на нашем рисунке ориентирован граф

(1) , а все остальные не ориентированы.

* ^в

(1) (2) (3)

Рис.

Последняя область математики, понятия которой бу­дут использоваться нами в дальнейшем,— это теория ве­роятностей.

Пусть дано некоторое поле событий, например выпадение чисел /, 2, 3, 4, 5 или 6 при бросании игральной кости. Бросание кости назовем испытанием, а вы­падение того или иного из 6 чисел — исходом испы­тания, или событием. Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для данного события исходов т к числу всех возможных исходов п. Вероятность каждого из наших событий, т. е. вероятность

того, что при бросании игральной кости (которую мы предполагаем совершенно симметричной) выпадет какое-

то из шести чисел, равна-^-. Если события независимы

друг от друга, то их вероятности в сумме дают единицу. Минимальное возможное значение вероятности равно нулю, а максимальное возможное значение — единице. Условной вероятностью события А при условии В называется вероятность того, что произойдет А, при условии, что В уже имеет место. Условная вероятность вычисляется по формуле

Р (А/В) =

где Р (А/В) обозначает вероятность А при условии В, Р (A-В) обозначает вероятность совместного появления двух событий А и В, а Р (В) — вероятность события В (вероятность условия). Чтобы освоиться с понятием услов­ной вероятности, решим следующую задачу: найти ве­роятность выпадения двойки (числа 2), при условии что уже выпало четное число. Найдем сначала вероятность совместного появления двух событий — выпадения двойки

и четного числа одновременно. Она равна у. Вероят­ность выпадения четного числа (вероятность условия) равна у (игральная кость имеет три четных числа и три

нечетных; вероятность того, что выпадет четное число, 3 1

равна у = у). Следовательно, вероятность выпадения двойки, при условии что уже выпало четное число, равна

JL • 1 — JL

6 ' 2 ~ 3'

В экспериментальных условиях мы имеем дело не с вероятностями, а с относительными частотами со­бытий. Однако относительные частоты приближаются к вероятностям по мере увеличения числа испытаний.

Изложенные выше элементарные понятия теории ве­роятностей используются во многих исследовательских и некоторых порождающих моделях, рассматриваемых нами ниже.

Некоторые другие математические понятия, имеющие более частный характер, излагаются по ходу дела в соот­ветствующих частях книги.