§ 31. Сведение к элементарным выражениям

Наше доказательство разрешимости основывается на следующей теореме:

(ТА) Каждое осмысленное выражение аристотелевской силлогистики может быть дедуктивно эквивалентным способом, относительно положений теории дедукции, сведено к ряду эле-ментарных выражений, то есть выражений формы:

СоиСа/дХз .

где все а — это простые выражения силлогистики, то есть выражения типа Aab, lab, Eabили ОаЬ.

Все известные положения силлогистики являются либо элементарными выражениями, либо выражениями, которые легко могут быть преобразованы в элементарные. Законы обращения, то есть Clablbaили САаЫЬа, — это элементарные выражения. Все силлогизмы имеют форму С/Соф^, а выражения этого вида дедуктивно эквивалентны элементарным выражениям формы СаСр7 относительно законов экспортации и импортации. Однако имеются другие осмысленные выражения силлогистики — некоторые из них истинные, некоторые ложные, — которые не являются элементарными. Мы уже встречали такое выражение: это было положение 78, CCNAabAbalab,антецедент которого — не простое выражение, а импликация. Существует, разумеется, бесконечное множество таких выражений, и все они должны быть приняты во внимание при доказательстве разрешимости.

Теорема (ТА) легко может быть Доказана на основе аналогичной теоремы из теории дедукции:

(ТВ) Каждое осмысленное выражение теории дедукции с С и Nв качестве основных терминов может быть сведено дедуктивно эквивалентным способом относительно конечного числа положе-ний к ряду элементарных выражений формы:

Са1Са2Саг . . . Сап-1аЛ,

где все а — простые выражения, то есть либо переменные, либо их отрицания.

Доказательство этой теоремы не из легких, но поскольку оно существенно для проблемы разрешимости, его нельзя опустить. Приведенное ниже доказательство (ТВ) предназначено для читателей, интересующихся формальной логикой; те же, кто еще не натренирован в математической логике, могут принять обе теоремы, (ТА) и (ТВ), на веру.

Пусть а будет произвольным осмысленным выражением теории дедукции, отличным от переменной (которое может, хотя и не обязательно, быть преобразовано): каждое такое выражение, как мы уже знаем, может быть преобразовано дедуктивно эквивалентным способом относительно положений S1 и S2

SI.

SI. CCNppp

в выражение CNатс, где тг — переменная, не встречающаяся в а. Мы имеем, следовательно, в качестве преобразования I:

a~CNaizотносительно S1 и S2.

Преобразование I позволяет нам свести все осмысленные выражения к импликациям, имеющим в качестве последнего термина переменную. Теперь мы

должны попытаться преобразовать N а — антецедент CNатс — в переменную или ее отрицание. Для этой цели мы используем следующие три преобразования:

И. CNNo§—Сар относительно S3 и S4,

CNCa$y~CaCN$y „ S5 и S6,

ССарт ~ С Nay,Срт „ S7, S8 и S9.

Соответствующие положения таковы: для преобразования II

CCNNpqCpq

CCpqCNNpq\

для преобразования III

CCNCpqrCpCNqr

CCpCNqrCNCpqr,

для преобразования IV

CCCpqrCNpr

CCCpqrCqr

CCNprCCqrCCpqr.

Поясним теперь, как мы можем получить с помощью этих преобразований переменную или ее отрицание в антецеденте САатг. Выражение а, встречающееся в САатг, как и всякое осмысленное выражение С—А-системы, может быть либо переменной, либо отрицанием, либо импликацией. Если а переменная, то не требуется никаких преобразований; если это отрицание, то мы получаем СААоф, а два отрицания взаимно уничтожают друг друга согласно преобразованию И; если же а — импликация, то мы получаем из CNCa^эквивалентное выражение СаСАрч, антецедент которого, а, проще, чем первоначальный антецедент АСа|3. Это новое а может быть опять-таки переменной, и тогда не требуется никаких преобразований, или отрицанием—этот слу-чай уже был рассмотрен, — или импликацией. В этом последнем случае мы получаем из СС01(37два выражения— СА0С7 и С(37 — с более простыми антецедентами, чем первоначальный антецедент С ар. Повторными применениями И, III и IV мы должны, наконец, получить в антецеденте переменную или ее отрицание. Посмотрим теперь на примерах, как действуют эти преобразования.

Первый пример: NNCpp.

NNCpp—CNNNCppqс помощью I, CNNNCppq~ CNCppq„ „ II,

CNCppq—CpCNpq„ „ III.

Итак, NNCppсводится к выражению CpCNpqс переменной р в антецеденте.

Второй пример: CCCpqpp.

CCCpqpp—CNCCCpqppr с помощью I,

CNCCCpqppr— CCCpqpCNpr „ * III,

CCCpqpCNpr— CNCpqCNpr, CpCNpr„ „ IV.

CNCpqCNpr~CpCNqCNpr „ „ III.

Итак, CCCpqppсводится к двум выражениям: CpCNqCNpr и CpCNpr; оба с переменной р в антецеденте, оба — элементарные выражения.

Третий пример: CCCpqqCCqpp.

CCCpqqCCqpp ~CNCCCpqqCCqpprс помощью I, CNCCCpqqCCqppr~CCCpqqCNCCqppr„ „ III,

CCCpqqCNCCqppr ~ CNCpqCNCCqppr, CqCNCCqppr с помощью IV,

CNCpqCNCCqppr—CpCNqCNCCqpprс помощью III.

CCCpqqCCqppсводится к двум выражениям: CpCNq CNCCqppprи CqCNCCqppr; оба с переменной в первом антецеденте. Ни одно из них, однако, не является элементарным, так как первое имеет в качестве своего третьего антецедента сложное выражение NCCqpp, а во втором то же самое сложное выражение выступает в качестве второго антецедента.

Как видно из этого последнего примера, наша задача еще не выполнена. С помощью преобразований I — IV мы, правда, получаем импликации с переменной в первом антецеденте, а также выражения формы:

C(XiCa2Ca3. .. Сап_1ап,

однако не все антецеденты этой формы, исключая аь обязательно бывают простыми выражениями. Для того чтобы избавиться от таких сложных антецедентов, нам необходимо три последующих преобразования:

СаСРу ~СрСау относительно S10,

S11,

S12 и S13.

таковы: для преобразо-

С<хС$С~(Ъ~ CaCyCpS

СаСрТ — CNCaN^

Соответствующие положения вания V:

CCpCqrCqCpr,

для преобразования VI:

CCpCqCrsCpCrCqs; для преобразования VII:

CCpCqrCNCpNqr,

CCNCpNqrCpCpr.

С помощью S10 мы можем передвинуть сложный антецедент со второго места на первое, а с помощью S11 — с третьего на второе. Применяя эти преобразования к выражениям CpCNqCNCCqpprи CqCNCCqpprнашего третьего примера, мы получаем:

CpCNqCNCCqppr~ CpCNCCqppCNqrс помощью VI, CpCNCCqppCNqr~ CNCCqppCpCNqr„ „ V,

CNCCqppCpCNqr ~ CCqpCNpCpCNqr„ „ III,

CCqpCNpCpCNqr ~ CNqCNpCpCNqr,

СpCNpCpCNqr„ „ IV,

(p) CqCNCCqppr~ CNCCqppCqr „ „ V,

CNCCqppCqr ~ CCqpCNpCqr „ * III,

CCqpCNpCqr ~ CNqCNpCqr, CpCNpCqr„ „ IV.

Итак, CCCpqqCCqppсводится к четырем элементарным выражениям: CNqCNpCpCNqr, CpCNpCpCNqr, CNqCNpCqr и CpCNpCqr.

Преобразование VII использовалось во всех тех случаях, когда сложный антецедент встречался на четвертом месте или далее.

CaCpC^CSs ~ CNCaN$CyC§eс помощью VII, CNCaN$CyCU~CNCaN$CbCys„ „ VI.

Из этого последнего выражения с помощью обратного применения VII мы получаем формулу

CNCaN$CbCye~CaC$C§Cyeс помощью VII.

Теперь легко перенести 8 на первое место с помощью VI и V:

СаС$СЪСуе~СаСЪС$Суес помощью VI, CaCSCpCys^CSCaCpCye „ „ V.

Применяя преобразование VII повторно в обоих направлениях, мы можем передвинуть любой антецедент с n-го места на первое и преобразовать его, если он является сложным, с помощью II, III и IV в простое выражение,

Итак, доказательство теоремы (ТВ) завершено. Теперь легко показать, что эта теорема влечет за собой доказательство разрешимости для С—A-системы теории дедукции. Если все элементарные выражения, к которым было сведено данное выражение а, истинны, то есть если они имеют среди своих антецедентов два выражения типа р и Ар, то в таком случае а является положением, которое должно быть принято. С другой стороны, если среди элементарных выражений, к которым было сведено а, существует по крайней мере одно такое выражение, что никаких два его антецедента не есть типа р и Ар, то тогда а должно быть отброшено. В первом случае мы можем доказать ос с помощью положений SI—S13, во втором — мы можем опровергнуть его, добавив к вышеуказанным положениям два новых

CpCCpqq,

NNCpp

и аксиому отбрасывания *S16 р.

Два примера пояснят это.

Первый пример: доказательство положения CpCCpqq. Это положение должно быть сначала сведено к элементарным выражениям.

следующего анализа (L):

CpCCpqq—CNCpCCpqqr с помощью I.

CNCpCCpqqr ~CpCNCCpqqr „ „ III,

CpCNCCpqqr ~CNCCpqqCpr „ „ V,

CNCCpqqCpr ~CCpqCNqCpr „ „ III,

CCpqCNqCpr ~ CNpCNqCpr, CqCNqCpr„ „ IV,

Элементарные выражения, к которым сводится CpCCpqq, таковы: CNpCNqCprи CqCNqCpr.Оба они, подобно всем выражениям, к которым было применено преобразование I, имеют в качестве своего последнего термина переменную, не встречающуюся в антецедентах. Такие выражения могут быть истинными только при условии, что они имеют два антецедента типа р и Ар, а любое

выражение этого вида можно свести с помощью пре

образований V, VI или VII к подстановке в S1, с которой всегда должно начинаться доказательство положения. Вот требуемые выводы:

SI. q/CNqrX(l)

CpCNpCNqr

S10. q/Np, r/CNqrX C (1) — (2)

CNpCpCNqr

SI 1. plNp, q,'p, r/Nq, sir X С(2) — (3)

CNpCNqCpr

plq, qlCprX (4)

CqCNqCpr.

Получив в (3) и (4) те же элементарные выражения, до которых мы дошли в конце нашего анализа (L), мы теперь переходим от них к их левым эквивалентам, применяя положения, на которых основывались последовательные преобразования. Так, шаг за шагом с помощью S9, S6, S10 и S2 мы получим наше первоначальное положение

S9. r/CNqCpr X С(3) — С (4) — (5)

CCpqCNqCpr

S6. p/Cpq, r/Cpr X С(5) — (6)

CNCCpqqCpr

S10. p/NCCpqq, q/pXC(6) — (7)

CpCNCCpqqr

S6. q/CCpqq X С(7) — (8)

CNCpCCpqqr,

(8) r/CpCCpqq X(9)

CNCpCCpqqCpCCpqq

p/CpCCpqq X С(9) — (10)

CpCCpqq.

По этому образцу мы можем доказывать любое положение, какое пожелаем.

Второй пример: опровержение выражения CCNpqq.

Сначала мы сводим это выражение к элементарным выражениям на основе следующего анализа:

CCNpqq—CNCCNpqqr с помощью I;

CNCCNpqqr— CCNpqCNqr , „ III;

CCNpqCNqr — CNNpCNqr, CqCNqr„ „ IV;

CNNpCNqr—CpCNqr „ , II.

Итак, выражение CCNpqqсведено к двум элементарным выражениям CqCNqrи CpCNqr.Первое из них — положение, однако второе не является истинным, поскольку не обладает двумя антецедентами типа р й Np.Поэтому выражение CCNpqq, которое ведет к такому неправильному следствию, должно быть отброшено.

S1. р/CCNpqq, q/rX(11)

CCCNpqqCNCCNpqqr

S5. p/CNpq X (12)

CCNCCNpqqrCCNpqCNqr

S7. p/Np, r/CNqr X (13)

CCCNpqCNqrCNNpCNqr

S3. q/CNqr X (14)

CCNNpCNqrCpCNqr

Теперь мы должны опровергнуть выражение CpCNqr; для этой цели нам потребуются новые положения S14 и S15 и аксиома отбрасывания:

S14. р/NNCpp, q/p XCS15 — (15)

CCNNCpppp

(15) X С (*16) — *S16 (*16) CNNCppp

SI4. p/CpCNpq, q/CNNCppp X CS1 — (17)

(17) CCCpCNpqCNNCpppCNNCppp (17)XC(*18) —(*16)

(*18) CCpCNpqCNNCppp

(*18)X(*19)p/CpCNpq, q/NCpp, r/p (*19) CpCNqr.

Отбросив CpCNqr,мы можем теперь последовательно отбрасывать его антецеденты до тех пор, пока не дойдем до первоначального выражения CCNpqq.

(14) X С(*20) — (*19)

(*20) CNNpCNqr

(13) X С(*21) — (*20)

(*21) CCNpqCNqr

(12) X С(*22) — (*21)

(*22) CNCCNpqqr

(11) X С (*23) — (*22)

(*23) CCNpqq

Таким же способом можно опровергнуть любое неистинное выражение С—V-системы. Все эти выводы можно было бы изложить короче, но я очень хотел показать метод, содержащийся в доказательстве разрешимости. Этот метод позволяет нам на основе лишь пятнадцати основных положений (SI—S15) «и аксиомы отбрасывания эффективно решить, должно ли данное осмысленное выражение С—V-системы быть принято или отброшено. Поскольку все прочие функторы теории дедукции могут быть определены через импликацию (С) и отрицание (V), то все осмысленные выражения теории дедукции разрешимы на аксиоматической основе. Система аксиом, из которой могут быть выведены пятнадцать основных положений, является в этом смысле полной, так что все истинные выражения системы могут быть в ней выведены. Такого рода системой и является си-стема из трех аксиом, изложенная в § 23, а также система из тех трех аксиом, на которых основывается преобразование IV, а именно CCCpqrCNpr, CCCpqrCqr и CCNprCCqrCCpqr.

Доказательство теоремы (ТА), согласно которой всякое осмысленное выражение аристотелевской логики может быть сведено к элементарным выражениям, в скрытом виде содержится в доказательстве аналогичной теоремы для теории дедукции. Если мы возьмем вместо греческих букв, используемых в наших преобразованиях I—VII (за исключением заключительной переменной в преобразовании I), пропозициональные выражения аристотелевской логики, то мы сможем применить к ним эти преобразования тем же самым способом, что и к выражениям теории дедукции. В этом легко можно убедиться на примере CCNAabAbalab.Мы получаем:

CCNAab Abalab—

— CNCCNAabAbalabp с помощью I,

CNCCNAabAbalabp~

~ CCNAabAbaCNIabp „ „ III,

CCNAabAbaCNlabp—

~ CNNAabCNIabp, CAbaCNIabp„ „ IV,

CNNAabCNlabp ~ CAabCNIabp„ „ II.

Вместо NAabмы всегда можем написать Oabи вместо Nlab— Eab.В последующем, однако, было бы более удобно употреблять формы с N.

Оба элементарных выражения CAabCNIabpи CAbaCNIabp, к которым было сведено CCNAabAbalab, имеют в качестве своего последнего термина пропозициональную переменную. Переменная вводится с помощью преобразования I. Мы можем освободиться от нее с помощью следующих дедуктивно эквивалентных преобразований, в которых ти является пропозициональной переменной, не встречающейся ни в а, ни в |3:

СаСртс ~ CaNfiотносительно S17 и S18,

СаСЛфтс~Ссф „ S19 и S20.

Положения для преобразования VIII:

CCpCqNqCpNq

CCpNqCpCqr.

Положения для преобразования IX:

CCpCNqqCpq

CCpqCpCNqr

Когда принимается СаСртс, мы с помощью подстановки Np на место тс получаем из него выражение СаСрАр, а затем с помощью S17 получаем СаАр; и, наоборот, из СаАр получаем выражение СаСртс о помощью S18. Когда СаСртс отбрасывается, мы получаем с помощью S18 ССаАрСаСртс, следовательно, СаАр должно быть отброшено; и, наоборот, когда отбрасывается СаАр, мы получаем с помощью S17 ССаСрАрСаАр; следовательно, СаСрАр должно быть отброшено, а следовательно, и СаСртс. Преобразование IX может быть объяснено таким же путем. Его мы можем применить непосредственно к нашему примеру. Возьмите АаЬ вместо a, lab— вместо р и р вместо тс; вы получаете CAbalab.Таким же путем из CAbaCNIabpполучается CAbalab.Если мы имеем выражение с более чем двумя антецедентами, например с п антецедентами, то сначала мы должны свести посредством повторного применения преобразования VII п—1 антецедент к одному антецеденту, а затем применить преобразование VIII или IX. Возьмем следующий пример:

CNlabCAcbCAdcCladp ~

~CNCNIabNAcbCAdcCIadpс помощью VII;

CNCNIabNAcbCAdcCladp~

— CNCNGNlabNAcbNAdcCladp„ „ VII;

CNCNCNlabN AcbN AdcCladp ~

~ CNCNCNIabNAcbNAdcNiad» „ VIII

CNCNC N1 abNAcbNAdcNlad ~

— CNCNIabNAcbCAdcNIad „ , VII

VII

CNCNlabN AcbC AdcNlad ~

CNIabCAcbC AdcNlad

Теорема (ТА) теперь полностью доказана; мы можем перейти поэтому к нашей главной теме — к доказательству разрешимости аристотелевской силлогистики.