§7. ВНУТРЕННЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТРЕЗКОВ  

№=Л-Р)>

то ясно, что оно самым простым способом удовлетворяется, если положить f{p) = р2у ведь р2 = (-р)2 и в том случае, если р представля&ет отрезок.

Мы можем, поэтому, попытаться вообще положить, что квад&рат р равен квадрату qy если р uq- отрезки равной длины, лежа&щие на одной и той же прямой линии. Однако остается сомнение, можем ли мы рассматривать этот квадрат вполне соответствую&щим арифметическому квадрату. Ибо умножению, посредством которого связываются оба сомножителя этого квадрата, вообще говоря, присущ некий [специфический] закон, позволяющий сравнивать квадрат одних направленных отрезков с квадратами других направленных отрезков. Иными словами, естественную ли гипотезу мы выдвигаем, в общем случае принимая квадрат р в ка&честве функции Др). Во всяком случае, предварительно, до вы&движения этой гипотезы, присвоим этой операции определенное название. Мы назовем ее внутренним умножением, а внутреннее произведение двух равных отрезков - внутренним квадратом этих отрезков. Комбинируя сказанное с объяснением 2, мы при&ходим к следующему объяснению:

(Определение 3). Под внутренним произведением двух парал&лельных отрезков мы понимаем такую величину, которая пола&гается пропорциональной числам, возникающим, если измерить одной и той же мерой оба параллельных отрезка этого внут&реннего произведения, а количества обеих мер перемножить ме&жду собой, при том, что все меры полагаются равной длины. Внутреннее произведение двух отрезков обозначаем посредст&вом ах Ь> внутренний квадрат ах а посредством а2.

Так, например, а х b и с х d пропорциональны числам, кото&рые возникают, если а и Ъ измерены посредством гх> а с и d - по&средством г2, причем г, и г2 имеют одинаковую длину, отрезок г{ параллелен отрезкам а и Ь, г2 - отрезкам с и d.

Теперь придется определить внутреннее произведение нерав- нонаправленных отрезков.

Определение такого понятия можно получить, пытаясь со&хранить общую взаимосвязь умножения и сложения и предпола&гая перестановочность сомножителей, с тем чтобы внутреннее умножение разнонаправленных отрезков и внутреннее умноже&ние равнонаправленных отрезков составляли единое понятие. Если временно предположить, что выполнены указанные усло&вия определения понятия этого произведения, то отсюда сразу следует, что

(д + &)х(д + &) = яхд + ЬхЬ + &хд + ах&, т.е.

(а + Ь)2 = а2 + 2а х b + Ъ2.              (20)

Отрезки представлены как разности точек, а именно

а = В-Д, Ь = С-Ву

т.е.

а + Ь = В- А + С- В = С-А. Поэтому, если а и b - взаимно перпендикулярные отрезки, то

а + Ь- гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которо&го суть а и Ь, и, следовательно,

(а + Ь)2 = а2 + Ь2.              (21)

Из сравнения равенств (20) и (21) следует, что 2а х Ь = 0, а зна&чит, и а х Ъ = 0, т.е. внутреннее произведение двух взаимно пер&пендикулярных отрезков следует положить равным нулю.

Из сказанного можно получить понятие внутреннего произве&дения двух произвольных отрезков а и Ь. Пусть имеем

а = А-Е, b = В - Е.

Опустим перпендикуляр из точки В на ЕАУ пусть С - точка пере&сечения, тогда

В-Е = В-С + С-Е.

Значит, имеет место и

axb = (A-E)x(B-E) = (A-E)x(B-C + C-E) =

= (А-Е) х (В - С) + (А - Е) х (С - Е).

Первое слагаемое из полученной в итоге суммы равно нулю, так как А - Е перпендикулярно В -С, поэтому

axb = ax(C-E),

но С-Е- ортогональная проекция отрезка Ъ на а. Отсюда следу&ет определение:

(Определение 4).

Из этого определения мне следует вывести законы внутрен&него умножения, не прибегая при этом к помощи теорем, приня&тых при определении названного понятия[129], а именно, во-первых:

(Теорема 2). Два сомножителя внутреннего произведения можно поменять местами, не меняя значения произведения, т.е. axb-bxa.

Так как если а = А-Е,Ь = В-ЕуС - основание перпендику&ляра из В на АЕ, D - основание перпендикуляра из А на то

axb = (A-E)x(C-E),

bxa = (B-E)x(D-E).

Из подобия треугольников и ВС? следует теперь, что длина так относится к длине DE, как длина к длине С?, следовательно, и произведение длин АЕ и С? равно произведе&нию длин DE и BE. Значит, если А-ЕиС-Е измерены мерой ли&нии ЕА, aD-ЕиВ-Е - мерой линии ЕВ, то произведение част&ных первых двух мер равно произведению двух последних мер, т.е. на основании определения 3

(А -Е) х (С-Е) = (В -?) х (D - ?),

т.е.

axb-bxa.

Отсюда следует, далее,

(Теорема 3). Внутреннее произведение двух взаимно перпен&дикулярных отрезков равно нулю, однако никакое другое произ&ведение, сомножители которого отличны от нуля, не равно нулю.

Поскольку, если отрезки взаимно перпендикулярны, то ор&тогональная проекция одного из них на другой есть нуль, следо&вательно, если, в соответствии с определением 4, вместо второ&го сомножителя подставить его ортогональную проекцию, т.е. нуль, тогда и произведение есть нуль. Наоборот, в любом дру&гом случае, если ни один из отрезков не равен нулю, то проек&ция отлична от нуля, значит, и произведение будет отлично от нуля.

Далее, можно доказать, что

ax(b + c) = axb + axc и (b + c)xa = bxa + cxa. (22)

Действительно, пусть а = А-Е,Ь = В-Ечс = С-В, тогда и b + с = С - Е. Если, далее, В', С" - основания перпендикуляров, опущенных из В и С на ЕА, то В' - Е есть ортогональная проек&ция b на а, С - Е - ортогональная проекция (Ь + с) на а, С' - В' - ортогональная проекция с на а, тогда

axb + axc = ax(B' -Е) + ах(С' - В'),

теперь, поскольку все отрезки в правой части равенства лежат на прямой линии, то правая сторона

= ях(5'-? + С'-В')

= а х (С" - Е)

= а х (Ь + с).

Наконец, поскольку сомножители перестановочны, то (Ь +с) ха = Ьха + сх а.

Итак, равенство (22) доказано.

(Теорема 4). Все алгебраические теоремы, выражающие от&ношение умножения к сложению, справедливы и для внутренне&го умножения двух отрезков,

так как это отношение зависит только от уже доказанных основных законов (сравни грассмановское Учение о протяженностях).

Этим оправдывается наименование и обозначение нового способа связывания как умножения. Но поскольку в алгебре ни&что не соответствует закону, согласно которому внутреннее произведение двух ортогональных отрезков равно нулю, это но&вое умножение оказывается существенно отличным от алгебра&ического, поэтому мы назвали его внутренним умножением, чтобы отличить его как от алгебраического, так и от внешнего умножения, и установили знак х в качестве знака этого умноже&ния. Отсюда следует, что если я, Ь, с, d - точки, то мы вместо равенства

fig.(а, Ъ) =fig.(c, d)

или вместо

ab 8 cd

не только вводим равенство

(а - Ь) х (а - Ь) = (с - d) х (с - d)

или

но и применяем к этому умножению все прежние теоремы, т.е. мы можем совершенно свободно оперировать этим умножением как любой алгебраической связью.