3.3 Декартово произведение множеств

Пусть X1,Х2, ..., Хn — множества.

Прямым (декартовым) произведением множеств Xi, i = 1,2, ..., n:

X1?Х2 ...? Хn

называется множество всех упорядоченных наборов (x1,x2, ..., xn), где xiϵXi, i = 1,2, ..., n.

Из определения декартова произведения следует, что A?B = O, если A= O или B = O:

A?B = OA= O B = O.

По аналогии можно утверждать, что прямое произведение нескольких множеств равно пустому множеству тогда и только тогда, когда хотя бы одно из этих множеств пусто.

Пример 1. Пусть X = R, Y = R — множества точек двух числовых осей. Тогда декартовым произведением X ? Y = R2 является множество точек плоскости (см.рис.). Каждой точке плоскости соответствует пара точек (проекций) на числовых осях.

Пример 2. Пусть заданы множестваА={1,2},В={3, 4, 5},тогдаA?B={,,,,,}

Декартово произведение двух множеств обладает следующими свойствами:

· A?B ≠ B?A–некоммутативность

· A? (B?С) = (A?B) ?C= A?B?C – ассоциативность

· A? (BC) = (A?B) (A?C) – дистрибутивность по объединению

· A? (BC) = (A? B) (A? C) – дистрибутивность по пересечению

· A? (B\C) = (A?B)\(B?C)– дистрибутивность по разности

· (A ? B)(C ? D)=(AC)?(BD)