§6. ВОЗВРАТ К КОНГРУЭНЦИИ. РАВЕНСТВА МЕЖДУ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ
Принцип конгруэнции нельзя получить, исходя из рассмот&ренных до сих пор взаимосвязей, так как последние касаются только проведения прямых линий или пересечения плоскости
прямой линией, проходящей через данную точку плоскости и не принимают во внимание природы кругов и сфер, как это имеет место в случае коллинеации.
Так как до сих пор часть грассманов- ского учения о протяженности касается только понятий прямых линий и плоскостей, то мы в этом произведении не предпринима&ем - за исключением отдельных указаний в определениях этих понятий - их дальнейшего развития. Поэтому, дабы не нарушать строгости изложения, я избираю впредь такой путь: после форми&ровки некоторого понятия я еще раз представляю это понятие в виде дефиниции, а законы, которые из нее вытекают, развиваю в строгой математической форме.Простейший случай конгруэнции, к которому может быть приведен любой другой случай, состоял в том, что две прямые ли&нии одинаковой длины могут быть полагаемы конгруэнтными, следовательно,
fig.(a,b)=fig.{c,d)9 (15)
если часть линии ab по длине была равна части линии cd. Далее, выше мы познакомились с равными линейными величинами и равными отрезками. Линейные величины ab и cd мы полагаем равными тогда и только тогда, когда они лежат на одной и той же линии, имеют одинаковое (не противоположное) направление от начальной до конечной точки и равные длины. Наоборот, отре&зок мы понимает как разность двух точек, поэтому а - b и с - d должны полагаться равными тогда и только тогда, когда оба от&резка (от Ъ до а и от d до с) имеют одинаковое направление и рав&ные длины.
Отсюда следует, что если две ограниченные прямые линии, например от а до Ъ и от с до d, равны как линейные вели&чины, т.е. ab = cd, тогда они должны быть равны и как отрезки, т.е. Ь-а должно быть равно d - с, но не наоборот, поскольку ес&ли b - а равно d - с, то ab только тогда равно cd, когда a, b, с, d ле&жат на одной и той же прямой линии10*. Далее следует, что если указанные ограниченные линии были бы равны как отрезки, зна&чит b - а = d - с, они были бы и конгруэнтны, т.е. имели бы рав&ные длины, но не наоборот, поскольку равенство отрезков только тогда следует из равенства длин, когда соответствующие им направления выбраны одинаковыми.Конгруэнция связана, прежде всего, с равенством отрезков, но поскольку всякий раз, когда
a-b-c-d, имеет место
fig.{a, b) = fig.(с, d)y
мы можем выражение fig.(a, b), представляющее длину прямой линии от точки а до точки Ьу рассматривать как функцию от а - Ъ. Поэтому, если / есть знак этой функции, вместо fig.(a> Ь) мы мо&жем писать f(a - b) и вместо равенства (15) получим равенство
/(д-/>)=Дс-</). (16)
Отсюда мы получаем преимущество - право трактовать длину как функцию одной-единственной величины.
Этой функции следует придать такой вид, чтобы равенство (16) было истинно только в случае, когда а - b и с - d имеют рав&ные длины. Для того чтобы найти такую функцию, примем сна&чала, что все рассматриваемые величины лежат на одной и той же прямой. Здесь две части линии, имеющие одинаковую длину, могут иметь либо одинаковое, либо противоположное направле&ние. В первом случае эти части равны как отрезки, во втором один из отрезков является отрицательным по отношению к дру&гому. Итак, если р - один из отрезков, другим отрезком, имеющим ту же длину, будет (-р). Но кроме р и (-р) на одной и той же [ог&раниченной] линии не может быть ни одного отрезка, имеющего равную с отрезком р длину. Отсюда следует, что f(p) должна иметь такую форму, что f{p) = f(-p).
Если бы можно было с отрез&ками на прямой линии действовать как с числами, то искомой бы&ла бы функция - простейшая из функций, удовлетворяющих по&ставленным условиям. Сначала мы исследуем, насколько законы числовых связей применимы к отрезкам одной и той же прямой линии, или вообще, могут ли эти законы применяться к величи&нам, которые, как отрезки одной и той же прямой линии, пропор&циональны ряду числовых величин.(Определение 1). Я полагаю, что последовательность про&странственных величин А, В,... пропорциональна числовой пос&ледовательности а, Р,..., если некоторая пространственная ве&личина М (отличная от нуля) имеет вид А = а Л/, В = pAf2,... и так далее, и в таком случае пространственные величины назы&ваю однородными. Если, далее, две последовательности про-
2 Если я представляю некоторую величину как произведение некоторой число&вой величины а на пространственную величину Л, то это должно выражать тот факт, что для умножения справедливы законы умножения и деления чисел, именно, что должно быть
р(аД) = (ра)Л и аД/р = (а/р)Д.
Эти свойства используются в последующем доказательстве.
странственных величин пропорциональны одной и той же чи&словой последовательности, то последовательности про&странственных величин я называю пропорциональными.
Отсюда сразу следует (Теорема 1): если последовательность пространственных величин А, В,... пропорциональна числовой последовательности а, р, ..., а эта числовая последователь&ность, в свою очередь, пропорциональна другой числовой после&довательности, то последовательность пространственных ве&личин пропорциональна этой другой числовой последователь&ности.
Поскольку любая последовательность чисел, пропорциональ&ная числовой последовательности а, р, ..., может быть представ&лена в виде рос, рр,..., где р - произвольное число, отличное от ну&ля, то положив теперь М' = М : р, т.е. будем иметь
А = арМ\ В = ррМ',...,
иными словами, А, В>...
соотносятся так же, как ар: Рр:..., т.е. как любая числовая последовательность, пропорциональная а, Р,... .Если имеется некоторое алгебраическое равенство, в кото&ром встречаются а, Р, ..., и это равенство не нарушается, если вместо последовательности чисел а, Р,... подставить пропорци&ональную последовательность пространственных величин А, В,то можно утверждать, что полученное равенство не обла&дает никакими свойствами, отличными от свойств исходного ра&венства.
Пусть теперь описанное выше равенство имеет вид