МАТЕМАТИКА И ЛОГИКА

И тем не менее позиции Грассманов и интуиционистов в ряде существенных аспектов совпадают даже в деталях.

И те, и те, на&пример, должны были исключить из логики, по существу, одни и те же средства обращения с математическим материалом, в част&ности, индуктивные доказательства и рекурсивные определения. И когда А. Гейтинг говорит: «Коль скоро мы обладаем основны&ми методами индукции и рекурсии, построение арифметики нату&ральных чисел не встречает серьезных трудностей, равно как и построение арифметики целых чисел и даже арифметики рацио- нальных чисел[261], он высказывает взгляд, под которым, наверное, подписались бы братья Грассманы - и не только потому, что ин&дукция и рекурсия были их методами, но и потому, что методы эти для них, как и для Гейтинга, были дологическими.

Позиция конструктивизма по вопросу о соотношении матема&тики и логики, бесспорно, «мягче», чем позиция интуиционизма. Но и для него сохраняет силу грассмановская концепция вторич- ности логики и представление о дологической природе констру&ктивных процессов. Конструктивистская математика, с точки зрения А.А. Маркова и его школы, требует определенной логи&ки - в том смысле, что вызывает.-ж, - но заранее заданной не предполагает; характер логики конструктивной математики зави&сит при этом от природы рассматриваемых конструктивных про&цессов и объектов.

Но здесь рассматриваемая нами историческая параллель за&канчивается. Для Грассманов логика - единственна, интуицио&низм же и конструктивизм не только, так сказать, на деле проде&монстрировали возможность «логического плюрализма», но и - по крайней мере если говорить об отечественном конструктив&ном направлении в математике и логике - провозгласили его в ка&честве неотъемлемого элемента своей принципиальной позиции. А.А. Марков выразил этот взгляд в свойственной ему решитель&ной форме:

В идее неединственности логики, разумеется, нет ничего удивительно&го. В самом деле, с какой стати все наши рассуждения, о чем бы мы ни рас&суждали, должны управляться одними и теми же законами? Для этого нет никаких оснований. Удивительным, наоборот, было бы, если бы логика бы&ла единственна[262].

Однако это - взгляд, характерный для другой математико-логи- ческой эпохи: эпохи, открытой теоретико-множественными и логи&ческими антиномиями, брауэровской критикой закона исключенно&го третьего. В XIX веке, наверное, трудно было найти ученого, со&мневавшегося в том, что логика - будь то логика реальных рассуж&дений людей или отражающая ее логическая теория, логика содер&жательных математических доказательств или формализованная логика - едина в своей основе.

На этой позиции стояли и Дж. Буль, и Э. Шрёдер, и Г. Фреге. Стояли на ней и братья Грассманы.

* * *

Изучение наследия Грассманов остро ставит проблему «мате&матика и/или логика». Ее решение во многом зависит от того, ка&кими мы будем считать индуктивно-рекурсивные процедуры - логическими или внелогическими, а также какое значение, какой «удельный вес» мы будем им придавать в развертывании матема&тических теорий и математики как науки в целом; крайне важен и вопрос об «одноступенчатом» (Брауэр) или «двухступенчатом» (Гильберт) их введении в рассмотрение. Обозначив «логическое» через Л, а «индуктивно-рекурсивное» (внелогическое, математи&ческое) - через ИР, стрелкой же выразив отношение концепту&ального предшествования, мы можем схематически изобразить логицизм: (1) Л —> ИР; интуиционизм (конструктивизм): (2) ИР -> Л; и финитизм: (3) ИР -» Л —> ИР.

К сказанному следует добавить соображения, связанные с различием между формализованной и неформализованной, дан&ной в мышлении логикой. Логика последнего рода всегда присут&ствует в математике, и в этом смысле она всегда предшествует математическому и любому другому научному мышлению. За примерами ходить недалеко. Так, отношение одинаковости зна&ков, которому столь большая роль придается и в финитизме, и в конструктивизме, и которое имеет все свойства логического от&ношения равенства, очевидным образом предшествует форма&лизованному отношению равенства в любом формальном языке. Это надо понимать не только в том смысле, что второе «модели&рует» первое, но и в том, что задать второе невозможно, не ис&пользуя какой-либо формы первого. А.А. Марков, создатель оте&чественного направления конструктивных математики и логики, искал выход из этого положения, ссылаясь (в подстрочном при&мечании!) на отношение одинаковости знаков, основывающееся на абстракции отождествления, которой, однако, не давалось ни&какого - ни «точного», ни «неточного» - определения. Относится ли эта абстракция к логике? Гильберт и Бернайс также начинают с отношения одинаковости знаков, над которым в ходе дальней&шего развертывания теории - через 165 страниц в русском пере&воде! - «надстраивается» некое «настоящее» логическое равенство.

Относятся ли оба эти отношения к логике? Или только второе? Или оба они - внелогические отношения?

По нашему мнению, любое решение интересующей нас проб&лемы должно предполагать существование неформализованных логических рассуждений: умозаключений, основанных на отноше&нии одинаковости (равенства, тождества) объектов, которое име-

ет те же свойства, что и формализованное равенство; обобщений, оперирующих словом «все» и его эквивалентами, без которых не&возможно придать надлежащую всеобщность «финитным спосо&бам рассуждений», логическим операциям, выражающимся сою&зами «и», «если..., то» и т.п. Такая логика столь же «первична», что и «интуитивно-очевидное» порождение натурального ряда.

Изложенные нами соображения самым тесным образом «при&вязаны» к противопоставлению логического и индуктивно-рекур- сивного. Но, может быть, решая проблему соотношения математи&ки и логики, разумнее идти другим путем, например, исходить из «определения» Г. Вейля[263]. «Математика есть наука о бесконеч&ном»? Это как будто снимает решения (1) и (2), а решению типа (3) придает вид проблемы о взаимодействии двух наук. И хотя вопрос о том, что чему предшествует - математика ли логике или логика математике - утрачивает прежний смысл, тем не менее понимание Вейлем математического знания - быть может, вразрез с тем, как думал сам Вейль, - наталкивает на мысль считать логику более «простой» наукой и в этом смысле предшествующей математике.

Здесь, однако, возникает следующая трудность. Однотипные обобщающие умозаключения:

А(а1)9А(а2)9...9А(ан)

VjcA(JC)

A(t)

VxА(х)

А{аг)9А(ая)А{ая+1)

VJCA(JC)

А(а{)9А(а2)9.^А(ап)9А(ап^)9... VJCA(JC)

т.е. правило полной нематематической индукции, «правило Лок- ка» (правило введения квантора общности), принцип полной ма&тематической («совершенной») индукции и «правило Карнапа» придется относить к разным областям знания, что выглядит неес&тественно.

Первое правило конечно («финитно») без всяких ого-

ворок. Во вторую и третью схемы бесконечность «прокрадывает&ся» в снятом виде: обе они «финитны» в смысле Гильберта. Чет&вертая схема, похожая по-своему на каждую из предшествующих (это принцип бесконечной индукции для случая счетности посы&лок), нефинитна. И все четыре схемы выражают обобщающие умозаключения. Однако, рассуждая «по Вейлю», последнюю сле&дует исключить из логики и отдать математике...

Кроме того - и это соображение еще более существенно, - если математика есть наука о бесконечном, то из нее надлежит исключить конечную и машинную математику, т.е. математику, реализуемую на ЭВМ, что по меньшей мере странно и в наш век информатики и кибернетики «несовременно».

Заключения, к которым приводят размышления над тем, что впервые пытались одолеть Грассманы, а также их неизменная ориентация на философию приводит нас к следующим выводам:

1. Содержательная логика и наглядно-мыслительные процес&сы конструирования предшествуют математике и формализован&ной логике.
2. Вопрос о том, что чему предшествует - математика формализованной логике или формализованная логика мате&матике - зависит от того, куда отнести теорию порождающих процессов и эффективной вычислимости: к математике или логике.
3. По нашему мнению, можно принять любое решение вопро&са 2, так как все зависит от того, как будет очерчена сфера логи&ческого, а это в значительной мере вопрос соглашения. Рассел был прав, когда писал Фреге, что основания математики и фор&мальной логики трудно разграничить.
4. Но все же опыт Грассманов делает убедительной схему:

Мы оставили в стороне вопросы, связанные с теорией мно&жеств, аксиоматическим методом, теорией моделей, новейшим развитием логики и информатики. Но, как представляется, их привлечение хотя и усложнит обсуждение проблемы и потребует детализации предлагаемой схемы, общего хода аргументации и выводов не нарушит.