ДОН КИХОТ XIX ВЕКА
В этом контексте следует оценивать не только грассманов- ский протоконструктивизм, но и вообще конструктивное и фи&нитное направление в математике и логике. Поэтому позиция Гильберта и Бернайса, выраженная в следующих их словах, со&вершенно естественна:
в арифметике потребность в выходе за пределы финитной точки зрения на самом деле не является такой уж ощутимой; действительно, едва ли можно указать такое выполненное в рамках арифметики доказательство, в котором нельзя было бы при помощи сравнительно легких модифика&ций обойтись без применения нефинитных способов умозаключений; (в отличие от этого математический) анализ в его обычном изложении совершенно не согласуется с финитной точкой зрения; напротив, он самым существенным образом опирается на дополнительные логические принципы[264].
Мы не станем здесь останавливаться на этих «дополнитель&ных принципах», в числе которых - если говорить о классической логике и математике, - как известно, были и давно сформулиро&ванные, типа закона исключенного третьего, и совсем новые, вроде принципа произвольного выбора. Мы также не можем здесь пытаться выяснить, где в многообразных философских, ло&гических и математических построениях Грассманов конкретно давала осечку их финитная ориентация. Однако заведомо ясно, что «протоконструктивность» математики их времени не могла быть продвинута достаточно далеко.
Она не могла «сработать» при переходе к действительным числам, конструктивное осмыс&ление которых, например в школе А.А. Маркова, связано с использованием уточненного понятия алгоритма. Уточнение это, как известно, есть вполне достижение XX века. В эпоху же, когда не была осознана необходимость уяснения логического фундамента математики, когда не существовало еще формали&зованной логики, приспособленной для аналитического рассмо&трения основных математических понятий и методов, когда - особенно - не было теории эффективной вычислимости, - в эту эпоху, эпоху братьев Грассманов, финитистские, (прото)конст- руктивистские устремления в математике и логике не могли принести сколько-нибудь существенных плодов. Вспомним, что даже в середине прошлого века многие математики смотрели на интуиционизм и конструктивизм как на нечто «несерьезное». И лишь наступление эры автоматизации вычислительных про&цедур, связанное с появлением электронной вычислительной техники, информатики и кибернетики, привело к переоценке ценностей.Ныне интуиционистско-конструктивистские концепции - не только признанные теоретические направления математико-ло- гической мысли, но и источник интересных идей и аппарата, на&ходящего приложение в программировании вычислительных ма&шин, в проблематике «искусственного интеллекта» и формализо&ванного представления знаний. Здесь они трансформируются в осязаемо-вещную форму практической вычислимости; ибо тут - монопольное царство тех финитных процессов, значимость кото&рых для дедуктивного знания с таким пафосом, пусть на весьма скромном научном материале, отстаивали Герман и Роберт Грассманы. В реальности этого царства - оправдание грассманов- ской борьбы за «подлинно научный метод» построения математи&ки и логики. Конечно, машинная математика не тождественна ин&туиционистской и конструктивистской; конечно, эти «математики» не исчерпывают поля математического (и логического) поиска, в котором человеческая мысль и воображение привлекают - и, мы убеждены, всегда будут привлекать - нефинитные, неконструк&тивные представления.
Пусть так! Но все же концепция Грассма&нов - если взглянуть на нее сквозь призму современной вычисли&тельной математики и «искусственного интеллекта», для кото&рых существующими являются только такие объекты, которые могут быть машинно реализованы, - была по-своему пророче- ской. В этом - основание того, чтобы считать описанные в этой статье идеи принадлежащими (также и) предыстории нынешнего XXI века - века информатики, века Интернета.Но Интернет не альтернативен Человеку, подобно тому, как Наука не альтернативна Знанию.
Знание же в той или иной форме есть всегда Система. Это не то чтобы понимал Роберт Грассман: скорее, он это чувствовал всем своим нутром. И хотя чаемое им «Здание знания» не могло строиться на ограниченной базе «протоконструктивизма», - за&мысел автора был благороден уже потому, что не противопоста&влял Знание - Вере. Последний Дон Кихот «строгой науки» XIX века, он не мог не потерпеть поражения. В XX веке таковых уже не наблюдается. Что-то принесет век XXI?
Б.В. Бирюков
16. Грассман Г., Грассман Р.