ГРАССМАНОВСКИЙ ПОДХОД И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБ ЭФФЕКТИВНОЙ ВЫЧИСЛИМОСТИ В ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ И ЛОГИЧЕСКОЙ МЫСЛИ XX ВЕКА
Начнем с философско-математического интуиционизма. Интуиционизм, возникновение которого связано с известной дис&сертацией Л.Я.Э. Брауэра (1907 г.)[241], обычно характеризуют как совокупность философских, математических и логических идей и методов, для которых характерно понимание математики как на&уки об «умственных построениях»: возможность осуществления таких построений представляет собой, согласно А. Гейтингу, од&ну из самых основных способностей человеческого разума, и именно ее изучает интуиционистская математика[242]. Эта позиция, будучи взята в общей форме, повторяет взгляды Грассманов: философия и математика, по Герману Грассману, суть науки о (мыслительных) формах, почему доказательства в этих науках за&ключаются в комбинировании различных мыслительных актов;
учение о величинах, которое, согласно Роберту Грассману, обни&мает математику и логику, характеризуется тем, что в нем самом мышление производит, «полагает» простые величины - элемен&ты, осуществляет их связывание в сложные величины, устанавли&вая законы этого связывания, возможные для человеческого разу&ма.
То обстоятельство, что в труде 1890 года учение о величинах было вынесено Р. Грассманом за пределы собственно математики, поскольку рассматривалось в качестве «общей части» как мате&матических, так и логических наук, в принципе дела не меняет: разрабатывая детализованный вариант теории величин, Р. Грасс&ман трактовал последнюю как отдел «учения о мышлении» - его исходный точный отдел, на котором базируются как математика, так и логика. Л.Э.Я. Брауэр в определенном смысле рассуждал аналогично, так как для него математика совпадает с точной ча&стью человеческого мышления (ср. характеристику интуициониз&ма, данную в статье А.С. Есенина-Вольтина[243]). Разумеется, кон&кретные представления интуиционистов ~ во всяком случае, Брауэра и Гейтинга - об «умственных построениях» были уж слишком «привязаны» к субъекту - их носителю, чего нельзя ска&зать о подходе Грассманов, которые вряд ли согласились бы с гей- гинговским представлением об общей форме математического высказывания: «Я выполнил в уме построение Л»[244].Развертывание арифметики Г. Грассман начинает с описания процесса порождения элементов «основной последовательности» как определенных знаковых конструкций; изложение учения о величинах Р. Грассмана имеет в качестве исходного пункта посту&лирование элементарных величин и их «последовательного свя&зывания», приводящего к процедурам, частным случаем которых оказывается процесс построения числового ряда. Но и интуицио- нисты избирают в качестве основы своих рассуждений, говоря языком Грассманов, «полагание мышлением» объектов сходного рода, которые они трактуют в качестве натурального ряда; если не обращаться к брауэровской «изначальной интуиции», с которой голландский математик и философ связывал умственное констру&ирование объектов этого ряда, а придерживаться более четких разъяснений представителей его школы, то точка зрения интуици&онистов по данному вопросу, резюмированная отечественным автором, выглядит так: «Естественно предположить, что можно построить произвольное натуральное число в виде последова- тельного ряда однородных предметов, например ряда параллель&ных черточек.
В рамках такой же идеализации можно допустить, что, построив некоторое натуральное число, можно построить за&тем и следующие, добавив к уже построенному еще одну черточ&ку»[245]. Но на подобной идеализации основывались и все рассужде&ния Грассманов в их общей теории форм (величин) и арифметике (целых чисел).Правда, следует учитывать своеобразие позиции по данному вопросу основоположника интуиционизма. Как уже говорилось, в отличие от Грассманов Брауэр не связывал математику как тако&вую с какой-либо знаковой, языковой или логической деятельно&стью; для него математика - в интуиционистском понимании, ин&туиционистская математика - предшествует языку, так как яв&ляется «существенно безъязыковой деятельностью разума [mind]»[246]; «в системе (edifice) математического мышления (...) язык не играет иной роли, кроме как эффективного - но никоим образом не безошибочного - средства запоминания математиче&ских конструкций и связывания их друг с другом»[247].
Р. Грассман рассматривал язык как орудие усвоения учения об однозначных объектах - величинах, теория которых, в свою очередь, способствует точности мышления и языка. Брауэр же, наоборот, подчеркивал исходную неточность всяких, в том чис&ле и математических, языковых средств - неточность, устранение которой, как он считал, в принципе невозможно; поэтому язык - и вообще любые знаковые системы - не могут, с его точки зре&ния, служить исчерпывающей передаче существа (интуициони&стской) математики. Неудивительно, что этот выдающийся мыс&литель даже предлагал смотреть на его высказывания о природе математического знания как на монологическую речь, не под&лежащую адекватной расшифровке со стороны слушателей[248].
Поэтому для последователей Брауэра мышление - во всяком слу&чае, в его «точной» части - не только не связано с языком (пози&ция, с которой в определенном смысле согласился бы, пожалуй, и Р. Грассман, считавший, что законы теории величин не зависят от законов языка), но и не способно сделать язык (и, значит, выра&жаемые в языке результаты мышления) ясными и общезначимы&ми - представление, которое, как нами уже отмечалось, расходит&ся со взглядами Грассманов, Их концепция «умственного констру&ирования» скорее предвосхищала финитизм и конструктивизм, нежели описанный аспект интуиционизма с его учением о вне языковой математической интуиции.
Расхождение между пониманием математики основополож&ником интуиционизма и «протоинтуиционизмом» Грассманов очевидно: для последних математика как «учение о формах (ве&личинах)» с самого начала предполагает знаковую, на точном ис&кусственном языке, фиксацию математических (и логических) данностей.
Впрочем, последователи Брауэра - уже А. Гейтинг - придавали гораздо большее значение знаковому представлению математических объектов, прежде всего натуральных чисел: «с каждым элементом построения (натурального числа) - писал он, - мы связываем, например, точку на бумаге»[249]; А. А. Марков, редактор русского перевода книги А. Гейтинга, в примечании к этому высказыванию замечает, что по существу мы таким обра&зом приходим к понятию натурального числа, принятому в конст&руктивной математике: натуральное число - это слово в алфави&те I, т.е. ряд вертикальных штрихов[250].Здесь позиция интуиционизма соприкасается с позицией логи- ко-математического конструктивизма. Однако прежде чем пере&ходить к рассмотрению концепции Грассманов в свете этого на&правления, обратимся к программе финитизма Д. Гильберта. Эта программа - ее идея была впервые высказана великим ученым еще в 1904 г., - как известно, изложена в серии Гильбертовых публикаций 1920-х годов; однако для нас удобнее воспользовать&ся фундаментальным трудом Д. Гильберта и П. Бернайса (вышед&шим первым изданием в 1934 г.), который ныне имеется в рус- ском переводе. Знаменитая «финитная установка» Гильберта, особенно если рассматривать ее в исходных основоположениях и вне рамок гильбертовского формализма как концепции, нацелен&ной на «спасение» классической математики от «разрушительной критики» интуиционистов, вполне конструктивна; основополо&жения эти касаются элементарной арифметики и алгебры. Вот как в применении к этим разделам математики выглядит эта «фи&нитная установка»:
здесь в области элементарной арифметики и алгебры ориентировка на пря&мые содержательные рассуждения, осуществляемые без предположений ак&сиоматического характера (выделено нами. - Б.Б., Л.Б.), разработана в наиболее чистом виде. - Характерной особенностью этой точки зрения яв&ляется то, что рассуждения здесь рассматриваются как мысленные экспери&менты над предметами, которые являются конкретно заданными (...). В арифметике у нас имеется некоторый исходный объект и, кроме того, не&которая операция порождения.
И то, и другое мы должны будем зафиксиро&вать некоторым наглядным образом (...). Мы возьмем в качестве исходного объекта цифру 1, а в качестве операции порождения - приписывание I[251].Тут все напоминает отправные пункты концепции Грассма&нов. В их работах была вполне воплощена ориентировка на рас&суждения, не связанные с предположениями аксиоматического характера; мысленное полагание элементов и их связывание, о чем неоднократно писали братья, - это, конечно же, не что иное, как мысленное экспериментирование с конкретно представляе&мыми объектами; в «учении о формах (величинах)» мы также имеем исходные объекты и операции порождения - «прибавле&ния единичностей», «связываний штифтом»; объекты в грассма- новской арифметике и общей теории величин оказываются, как и в «финитной арифметике» Гильберта-Бернайса, словами («цифрами», «многочленами») определенного вида, а равенство или неравенство этих объектов понимаются как графическое совпадение либо не совпадение этих конкретно заданных предме&тов; операции (функции) в арифметике и общей теории величин Грассманов, как и в «финитных» теориях математики XX века, вводятся путем рекурсивных определений, естественно предпола&гающих, говоря словами Гильберта-Бернайса, «принципиальную представимость объектов» и «принципиальную выполнимость операций»[252].
Содержательные рассуждения, совершающиеся в виде «мыс&ленных экспериментов», производимых над «наглядно представ&ляемыми» образованиями и не зависящие от постулатов аксио&матического рода, Гильберт и Бернайс называют финитивными, а соответствующую методологическую[253] позицию характеризу&ют как финитную установку или финитную точку зрения. По&этому мы можем сказать, что грассмановская арифметика и «общее учение о величинах» были финитными теориями в гиль- бертовском смысле, а питавшая их методологическая устремлен&ность - финитной установкой. Правда, остается один пункт, нуждающийся в уточнении. Поясняя смысл упомянутой установки, Гильберт и Бернайс говорят о «прямых содержательных рассуж&дениях», мы же в наших рассмотрениях арифметики и общей теории величин Грассманов подчеркивали формальность их по&строения.
Можно ли считать грассмановскую «формальность» («строгую научность», как они выражались) тождественной гиль- бертовской «содержательности»? В определенном смысле - да.Дело в том, что Гильберт и Бернайс смотрят на «элементар&ную арифметику» фактически с позиций «рекуррентного способа мышления» Т. Сколема, примитивно-рекурсивную арифметику которого они затем (в гл. VII своего труда) подвергают аксиома&тизации. Отличие этой арифметики от арифметики Грассманов состоит, грубо говоря, в том, что у Сколема к аппарату примитив&ных рекурсий (служащему для задания не только арифметиче&ских функций, но и предикатов), умозаключениям на основе свойств отношения равенства и индуктивным доказательствам - средствам, в общем, содержавшимся в построениях Грассманов, - присоединяется формализм фактически пропозициональной логики[254]. Это придает сколемовскому построению ту «логиче&скую завершенность», которой не могло быть у Грассманов, ис&пользовавших в арифметике и теории величин логические связки естественного языка, для которых не формулировались правила их употребления. Поэтому можно сказать, что упомянутые грасс- мановские теории были формальными лишь на дологическом уровне, т.е. уровне, не базирующемся на явно сформулированных средствах логики, уровне, который с позиций современной мате&матической логики признается содержательным. Правда, логи&ческие процедуры, применявшиеся Грассманами в арифметике (целых чисел) и общем учении о формах, были достаточно «про&сты» и вполне удовлетворяли «финитной установке». Но это не от&меняет того факта, что их теории «форм» и целых чисел содержа&ли не выявленную логическую компоненту - что и не удивительно, так как и по своему исполнению, и исторически они принадлежали к дологическому, т.е. не связанному с разработкой формализо&ванной логики, периоду в исследованиях по философии и основани&ям математики[255]. Между тем без выявления этой компоненты не могло быть и речи о распространении «рекуррентного (рекурсив&ного) способа мышления» на математический анализ и теорию функций; это, как известно, много позже, начиная с 40-х годов XX века, было осуществлено Р. Гудстейном на базе его «исчисле&ния равенств», являющегося развитием подхода Т. Сколема.
Переходя к сопоставлению грассмановской концепции с оте&чественным конструктивизмом, подчеркнем, что предвосхище&ния братьев Грассманов здесь касались не столько того специфи&ческого, что отграничивает школу А.А. Маркова от других кон&структивистских течений в математике XX века (и даже от инту&иционизма), сколько того, что было им общо. Из «трех китов», на которых, по выражению Н.А. Шанина, основывается конструк&тивная математика: теории порождаемых множеств конструктив&ных объектов (называемой также общей теорией исчислений), теории алгоритмов и конструктивной математической логики[256], - построения Грассманов имели отношение только к первому. Но не будем забывать, сколь существен этот «кит»: понятия конст&руктивного объекта и конструктивного процесса как непосред&ственные предметы изучения в конструктивной математике со&ставляют краеугольный камень этого направления. В отличие от других конструктивистских концепций XX столетия в конструк&тивной математике и логике, развивавшихся в России, с самого начала подчеркивалась широкая общность этих понятий. И именно эта общность была предвосхищена в грассмановской тео&рии форм (величин).
В самом деле, приведем, следуя высказываниям представите&лей отечественного конструктивизма, характеристику понятий конструктивного процесса и конструктивного объекта. Предва&рительно заметим, что, рассматривая упомянутые процессы, конструктивисты всегда имеют в виду конкретный, хотя, быть может, и не специфицированный процесс. Относительно этого процесса предполагается, что заданы объекты, которые в дан&ном процессе порождения выступают в качестве нерасчленяе- мых далее образований (исходные конструктивные объекты); что объекты эти однозначно опознаваемы - различаемы и ото&ждествляемы; что сформулирован конечный набор правил (предписаний) переработки одних конструктивных объектов - исходных и не исходных, т.е. полученных ранее в данном процес&се, в другие конструктивные объекты; что переработка эта про&изводится дискретно, отдельными четко отличными один от дру&гого шагами; что правила, определяющие эту переработку, об&щепонятны и относительно их применения не может возникнуть каких-либо неясностей; что результат каждого шага преобразо&ваний однозначно определен используемым правилом и характе&ром тех конструктивных объектов, к которым оно применяется; что поэтому все конструктивные объекты являются однозначно опознаваемыми; и что выбор того или иного правила на каждом шаге порождения конструктивных объектов - конструктивного процесса - произволен в тех рамках, которые определены набо&ром ранее построенных конструктивных объектов[257]. Эта харак&теристика полностью применима к тем процедурам обращения с объектами, которые вводятся в теории чисел братьев Грассма&нов и в теории форм младшего брата. Так, в книге Г. Грассмана 1861-1862 гг. заданными исходными конструктивными объекта&ми являются положительная и отрицательная «единичности»: элементы е и -е, причем -е выступает в качестве не расчленяе&мого далее единого знака: в учении о формах изначально данны&ми, не расчленяемыми на что-либо конструктивными объектами являются элементарные величины, представляемые тоже бук&вой е или той же буквой с целочисленными положительными ин&дексами; в обоих «учениях» - о числах и о величинах в широком смысле - предъявляется конечный набор правил построения конструктивных объектов - «величин» и «равенств» («уравне&ний»), что обусловливает возможность построения одних конст&руктивных объектов из других конструктивных объектов с помо&щью индуктивных определений либо рекурсивных процедур, вво&дящих в состав образуемых величин знаки (унарных, типа «приба&вления положительной единичности», либо бинарных) операций, а также индуктивных доказательств и тождественных преобразо&ваний, порождающих - в качестве «доказанных» - конструктивные объекты вида равенств (уравнений); правила эти общепонятны (хотя не все из них описаны в явном виде; это касается, в частности, правил, определяющих тождественные преобразования); процесс порождения носит дискретный характер, полностью регулируется имеющимися правилами, результаты применения которых на каж&дом шаге однозначно определены характером тех величин либо равенств, которые по этим правилам перерабатываются.
Во всех конструктивистских теориях, о которых речь шла выше, числа - натуральные, целые, рациональные - и другие математические «сущности» понимаются как определенные знакосочетания. В отечественном конструктивном направле&нии эта позиция принимает следующий вид: знакосочетания предполагаются имеющими линейный характер, т.е. вид слов; слова в тех или иных алфавитах становятся единственным ти&пом конструктивных объектов, которые в нем рассматривают&ся (при этом на примерах показывается, что конструктивные объекты иного рода - конечные матрицы, конечные графы, де&ревья формул и пр. - могут быть представлены в виде слов в подходящих алфавитах). В «учениях» Грассманов величины то&же оказываются словами в определенных алфавитах", а опозна&ваемость величин вытекает из истолкования отношений равен&ства и различия, предполагающих, как мы видели, графическое сравнение слов.