Теорема Лорана.

Функция , аналитическая в круговом кольце и на его границе, разлагается в нем в сходящийся ряд Лорана.

Рассмотрим круговое кольцо , построим внутри него еще одно круговое кольцо с радиусами так, что . Рассмотрим произвольную точку во внутреннем кольце, проведем из нее, как из центра окружность радиусом так, чтобы она лежала целиком внутри внутреннего кольца.

По теореме Коши для многосвязной области

По интегральной формуле Коши =-.

Рассмотрим отдельно каждое слагаемое.

1) В первом слагаемом повторим все выкладки из доказательства теоремы Тейлора, считая , .

Так как , то полученный ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге .

Функция - аналитическая на , следовательно, она непрерывна и ограничена на . То есть на .

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию .

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге . Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.

, где коэффициенты ряда Тейлора равны

= (По следствию из теоремы Коши для многосвязной области интегрирование по можно заменить интегрированием по ).

2) Рассмотрим второе слагаемое, полагая , .

. Это справедливо, так как здесь .

Функция - аналитическая на , следовательно, она непрерывна и ограничена на . То есть на .

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно

Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса во внешности круга . Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.