№18. Нули аналитической функции. Ряд Тейлора и ряд Лорана.
Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f(z), если f(a) = f ′(a) = f ″(a) = ... = f (k−1)(a) = 0, но f (k)(a) ≠ 0.
Пример. Пусть 
. Точка a = 0 - нуль этой функции, так как f(0) = 0. Найдём порядок нуля: 
f ″(z) = − sin z + z, f ″(0)= 0, f ( 3 )(z) = − cos z + 1, f ( 3 )(0) = 0, f ( 4 )(z) = sin z, f ( 4 )(0) = 0, f ( 5 )(z) = cos z, f ( 5 )(0) = 1 ≠ 0,. Первая отличная от нуля производная функции в точке a = 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции .
Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция f(z) имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция f(z) представлялась в виде f( z) = (z − a) k·φ(z), где φ(z) - аналитическая в точке а функция, и φ(a) ≠ 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции f(z), т.е. f(a) = f ′(a) = f ″(a) = ... = f (k−1)(a) = 0, и f (k)(a) ≠ 0. Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид 
, где 
- аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что и у ряда для f(z)) функция, 
.
Достаточность. Пусть f( z) = (z − a) k·φ(z), где φ(z) - аналитическая в точке а функция, и φ(a) ≠ 0.
Находим производные этой функции по формуле Лейбница ( uv ) (n) = u (n) v + n u (n - 1) v ′ + Cn2 u (n - 2 ) v ″ + Cn3 u (n - 3 ) v(3 ) + … + Cn2 u ″ v (n - 2) + n u ′ v (n - 1 ) + u v (n ): f ′(z) = k(z − a)k - 1 φ(z) + (z − a)k φ ′(z), f ′(a) = 0; f ″(z) = k (k − 1)(z − a)(k - 2) φ(z) + 2k (z − a)(k - 1) φ′(z) + (z − a)(k) φ″(z), f ″(a) = 0; …………… ………………………….; f ( k -1 )(z) = k·( k -1 )·…2·(z − a) φ(z) + C1k-1k·( k -1 )·…3·(z − a)2 φ ′(z) + … + (z − a) k φ(k -1)(z), f ( k -1 )(a) = 0; f ( k)(z) = k·( k -1 )·…2·1·φ(z) + C1k k·( k -1 )·…2·(z − a) φ ′(z) + … + (z − a) k φ(k)(z), f ( k)(a) = k!·φ(a) ≠ 0, что и требовалось доказать.Из этой теоремы следует, что если многочлен P n(z) = a0 z n + a1 z n - 1 + a2 z n - 2 + … + a n - 1 z = 0 разложен на множители P n(z) = a0 (z − z1) k1 (z − z2) k2 … (z − zl) kl , то корни z1, z2, …, zl являются нулями функции P n(z) кратностей, соответственно, k1, k2, …, kl.
Ряд Тейлора. Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, z0∈ D. Обозначим L окружность с центром в z0, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом.
Тогда для любой точки z, лежащей внутри L,
. Представим множитель 
в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: 
(так как | z – z0| < | t – z0| , то 
) 
, и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: 
, так как 
. Итак, 
. Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f(z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f(z) аналитична в области D, z0 ∈ D, то функция f(z)может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z – z0)n. Этот ряд абсолютно сходится к f(z) внутри круга | z – z0| < r, где r - расстояние от z0 до границы области D (до ближайшей к z0 точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно. Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции. 19.8.1.1. Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений: 1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
; 5. 
; Все эти ряды сходятся к своим функциям на всей плоскости (при ∀ z ∈ C). Для геометрических прогрессий имеют место формулы 7. 
; 8. 
. То, что эти ряды сходятся при | z| < 1, понятно. Ближайшие к центру разложения z0 = 0 точки, в которых функции теряют аналитичность (граница области D) - это точки z = ±1, в которых соответствующие функции неопределены. 9. 
. В действительном случае вообще было непонятно, почему этот ряд перестаёт сходиться к f(x) при | x | ≥ 1, ведь f(x) определена на всей действительной прямой. В комплексном случае это проясняется - на окружности | z | = 1 расположены точки z = ± i, в которых f(z) не определена. При разложении многозначных функций необходимо выделить однозначную ветвь. Обычно задают значение функции в одной точке. Рассмотрим, например, разложение функции ln(z + 1). Ln 1 = ln 1 + i arg 1 = 2k π i, k - целое. Возьмём ту ветвь логарифма, для которой Ln 1 = 0 ( k = 0), т.е. главное значение логарифма f(z) = ln (z + 1). На этой ветви 
, поэтому 
, и 10. 
. Точка, в которой функция теряет аналитичность (она в этой точке вообще не определена) - это z = -1, поэтому ряд сходится при |z| < 1. Теперь рассмотрим биномиальный ряд для функции f( z) = (1 + z) α. Это (при любом комплексном α) общая степенная функция, поэтому f( z) = (1 + z) α = z α ln(1 + z) (однозначная ветвь выделена тем, что взято главное значение логарифма); дальше находим производные: 
; аналогично 
f ″(0) = α(α − 1); и т.д.; f (n)(0) = α(α − 1)…(α − n + 1), поэтому 11. 
. 19.8.1.2. Решение задач на разложение функций в ряд. Техника решения этих задач ничем не отличается от действительного случая (см. раздел 18.2.6.2). Рассмотрим, например, задачу 6 из этого раздела: разложить функцию 
по степеням z - 7. Так как степень знаменателя равна двум, сначала разложим в ряд функцию 
, затем почленно продифференцируем его: 
. Круг сходимости 
. На границе круга сходимости ряд из модулей расходится, и общий член не стремится к нулю, поэтому в каждой точке окружности 
ряд расходится. Далее, 
. Все выводы о круге сходимости и поведении ряда на его границе остаются справедливыми. 19.8.2. Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R. Тогда для любой точки этого кольца 
; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.7.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное: 
. Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора: 
(так как | z – z0| < | t – z0| , то 
) 
, и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: 
, где 
. Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на Lρ | t – z0| < | z – z0| : 
. И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: 
, где 
. Переобозначим n → −n, тогда форма коэффициентов ряда для Lρ совпадёт с формой коэффициентов ряда для LR: 
поэтому окончательно для интеграла по Lρ получим 
. Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть Γ - кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R, и точка z0 расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области 
; 
, поэтому для любого n 
, и 
. Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени (z – z0), называется рядом Лорана функции f(z). Его часть, содержащая неотрицательные степени (
), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени (
), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z – z0| ≤ R, главная - во внешности круга | z – z0| ≥ ρ, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце ρ ≤ | z – z0| ≤ R. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.
Еще по теме №18. Нули аналитической функции. Ряд Тейлора и ряд Лорана.:
-
Аналитическая геометрия -
Вариационное исчисление -
Векторный и тензорный анализ -
Высшая геометрия -
Высшая математика -
Вычислительная математика -
Дискретная математика -
Дифференциальное и интегральное исчисление -
Дифференциальные уравнения -
Исследование операций -
История математики -
Комплексное исчисление -
Линейная алгебра -
Линейное программирование -
Математическая логика -
Математическая физика -
Математический анализ -
Пределы -
Ряды -
Статистика -
Теория вероятностей -
Теория графов -
Теория игр -
Теория принятия решений -
Теория случайных процессов -
Теория чисел -
Финансовая математика -
Функциональный анализ -
-
Антропология -
Астрономия -
Безопасность жизнедеятельности -
Библиотечное дело -
Биология -
Военное дело -
География -
Зоология -
История -
Культурология -
Литература -
Математика -
Медицина -
Педагогика -
Политология -
Право России -
Право України -
Психология -
Религоведение -
СМИ и журналистика -
Социология -
Технические науки -
Транспорт -
Физика -
Философия -
Финансы -
Экология -
Экономика -
Этнография и демография -
Юриспруденция -
Языкознание -