МНОЖЕСТВА МОЩНОСТИ КОНТИНУУМА.

ТЕОРЕМА БЕРНШТЕЙНА. Пусть А и В - бесконечные множества . Если А В и А ~ В, но А М, причем М ~ В, то .

ТЕОРЕМА КАНТОРА. Множество Р точек отрезка не эквивалентно множеству N натуральных чисел.

Доказательство:

Пусть P ~ N, т.е. = Р. (1)

Другими словами, точки множества Р можно занумеровать последовательностью (1). Разобьем отрезок на три части.

0 1

Найдется отрезок , не содержащий точки : .

- 12 -

Отрезок снова делим на три части: такой, что . И так далее. Таким образом, получим последовательность вложенных отрезков , длины которых по теореме из математического анализа о вложенных отрезках . Тогда и, значит, совпадает с одной из точек последовательности (1), т. е. из (1) для некоторого п.

С другой стороны, не может совпасть с из последовательности (1) ни для какого п, т.к. , а Из полученного противоречия следует, что P ~ N.

Множества, эквивалентные множеству точек отрезка , называют континуальными множествами (множествами мощности континуума).

Из теоремы Кантора и первой теоремы следует, что c > a.

Примеры: 1..

то взаимно - однозначное соответствие между элементами этих множеств можно установить по формуле:

2. по теореме 4 о счетных множествах.

ТЕОРЕМА 1. Сумма конечного или счетного

множества множеств мощности континуума имеет мощность континуума.

Пусть где И пусть при . Тогда ~ , ~ .

- 13 -

Аналогично можно показать, что ~ и, следовательно,

, т.к. , но и . Ч.Т.Д.

Замечание: в двоичном исчислении запишется

Или, в сокращенной записи:

Двоично-рациональное число можно при этом записать двояко: с нулем или с единицей в периоде, например: .

Т.е. множество всех возможных двоичных дробей отличается от множества точек на двоично - рациональные числа с единицей в периоде, которых счетное множество. Тогда, т.к. , то и по теореме 4 о счетных множествах.

ТЕОРЕМА 2. Пусть- множество, элементы которого определяются счетным множеством параметров, принимающих независимо друг от друга два значения “а” или “в”. Тогда

Доказательство:

из множества А ставим в соответствие двоичную дробь

- 14 -

по правилу:

и обратно по такому же закону. Следовательно,

Ч.Т.Д.

Упражнения:

1. Определить мощность множества иррациональных чисел.

2. Определить мощность множества трансцендентных чисел.

( Действительное число, не являющееся алгебраическим, называется

трансцендентным ).

3. Доказать, что множество всех последовательностей из 0 и 1 несчетно.

4. Доказать, что множество всех возрастающих последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума.

5. Доказать, что множество всех возрастающих последовательностей натуральных чисел и всех возможных последовательностей натуральных чисел эквивалентны.

6. Доказать, что множество всех точек эллипса имеет мощность

континуума.

7. Доказать, что множество попарно не пересекающихся букв Г на

плоскости континуально.

8*. Пусть Е - счетное множество точек на прямой. Можно ли сдвинуть

это множество на величину а ( т.е. заменить любую точку на

точку ) так, чтобы получившееся в результате сдвига множество

не пересекалось с Е, т. е. ?

9*. Из станции ( * ) выходят 2 ветки: 0 и 1, заканчивающиеся

одноименными станциями 0 и 1. Из станции 0 выходят тоже 2 ветки:

00 и 01, а из станции 1, соответственно, 10 и 11. И т. д.

Дорогой называется бесконечная последовательность веток,

продолжающих друг друга и начинающая из станции (* ).

Какова мощность множества станций и множества дорог ?

- 15 -