Замкнутые множества. Замыкание.

8.1.Множество называется замкнутым, если оно содержит в себе все свои предельные точки.

Примеры: 1. Множество точек отрезка образуют замкнутое множество. Из математического анализа известно, что все точки

- 20 -

отрезка являются предельными, вне отрезка нет точек предельных для

точек множества.

2. Множество точек интервала образуют незамкнутое множество.

Действительно, точки a и b предельные для точек данного множества, но множеству не принадлежат.

3. Множество всех действительных чисел ( точек числовой оси ) - замкнутое множество.

8.2. Замыканием множества М называется множество , где - производное множество ( множество предельных точек М ).

Очевидно, М - замкнутое множество, если . Напротив, если М - замкнутое множество, то и, следова-

тельно, (Это утверждение можно считать вторым определением замкнутого множества: множество замкнуто, если оно совпадает со своим замыканием).

Примеры: 1. Для мн-ва .

Тогда

2. Для - пустого множества имеем: .

Следовательно, - замкнутое множество.

ТЕОРЕМА 1. В любом метрическом пространстве замкнутый шар есть замкнутое множество.

Доказательство:

Пусть . (1)

Докажем, что не предельная точка для множества точек шара , то есть докажем, что существует , не содержащий точек

- 21 -

шара . Построим . Будем доказывать методом от противного: пусть и пусть

,

что противоречит условию (1). Следовательно вне шара нет предельных точек шара. Ч.Т.Д.

ТЕОРЕМА 2. Дополнение открытого множества до всего пространства всегда замкнутое. Дополнение замкнутого множества до всего пространства всегда открытое.

Доказательство:

Пусть F - замкнутое множество. Тогда U=CF - его дополнение до всего пространства. Докажем, что оно открытое.

Пусть . Допустим, что без окрестности, т. е. в любом открытом шаре с центром в точке z существуют точки множества F. Тогда z - предельная точка множества F . Т.к. F - замкнутое множество, то , что противоречит условию . Следовательно, U - открытое множество.

Пусть теперь U - открытое множество, а F=CU - его дополнение до всего пространства. Докажем, что оно замкнутое.

Действительно, вместе с некоторой окрестностью и поэтому не может быть предельной точкой множества F. Тогда все предельные точки множества F могут быть только в F . Следовательно, F - замкнутое множество.

Ч.Т.Д.

Пример: Так как множество всех действительных чисел ( точек числовой оси ) - замкнутое множество, то его дополнение С=- открытое множество. Таким образом, из этого примера и примера п. 8.2 мы убедились, что является примером одновременно замкнутого множества и открытого.

Очевидно, это утверждение справедливо и для множества всех действительных чисел .

- 22 -

ТЕОРЕМА 3. Объединение замкнутых множеств в конечном числе и пересечение замкнутых множеств в любой совокупности есть замкнутое множество.

Доказательство:

Пусть - замкнутые множества, а - дополнительные открытые множества. Тогда из принципа двойственности имеем: - открытое множество по теореме 2 параграфа 6. Но тогда - замкнутое множество по теореме о дополнениях.

Аналогично. - открытое множество по теореме 2 параграфа 6. - замкнутое множество по теореме о дополнениях. Ч.Т.Д.

Упражнения:

1. Открыто или нет множество всех действительных чисел ?

2. Пусть . Показать, что множество М непрерывных функций таких, что , открыто.

3. Пусть - функция определенная и непрерывная на всей числовой оси. Доказать, что множество М тех точек х ,где , открыто.

4. Доказать, что множество всех внутренних точек множества М

открыто.

5. Что можно сказать о множестве рациональных чисел ?

Является ли оно открытым ? Является ли оно замкнутым ?

6. Что можно сказать о множестве точек ? Замкнуто ли оно ?

Открыто ли?

- 23 -

7. Доказать, что если - замкнутое, а - открытое множество, то - открытое множество, а - замкнутое множество.

8. Замкнуто или нет множество точек ?

9. Непосредственно из определения замкнутого множества вывести, что любое конечное множество точек метрического пространства замкнуто.

10. Показать, что множество , состоящее из непрерывных функций таких, что , замкнуто.

11. Доказать, что для любого множества М метрического пространства Х множество его предельных мочек - замкнуто.

12. Доказать, что .

13. Доказать, что замыкание произвольного множества замкнутое множество.

14. Доказать, что замыкание есть наименьшее замкнутое множество, содержащее М.

15. М -множество точек вида .

Чему равно ?

16*.Построить счетное множество М, обладающее следующими свойствами:

а) имеет мощность континуума;

б) .

17*.Может ли множество, состоящее только из изолированных точек,

иметь предельные точки ? Может ли его производное

множество быть бесконечным ? Может ли оно быть несчетным ?

18*.Показать, что всякое замкнутое множество на числовой прямой может быть получено выкидыванием из прямой счетного или конечного множества попарно не пересекающихся интервалов.

19. Что можно сказать о пустом множестве ?

Является ли оно открытым ? Является ли оно замкнутым ?

20. Приведите примеры:

· замкнутого, но не открытого множества;

· открытого, но не замкнутого множества;

· открытого и замкнутого одновременно;

· не открытого и не замкнутого одновременно.

- 24 -