4. СЧЁТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Множества, эквивалентные множеству натуральных чисел N, называются счетными множествами.

Мощность счётного множества обозначается буквой “ а ”.

= a.

- 9 -

Пример: ,

ТЕОРЕМА 1: Любое бесконечное множество А содержит в себе счетное подмножество М и притом А\М - также бесконечно.

Доказательство:

Выберем и из А. Т.к. А - бесконечно, то найдутся ещё 2 элемента , из А, отличные от ,. И т. д. Можно построить таким способом два различных множества:

и .

Т.к.\ М и = , то А\ М - бесконечно. Ч.Т.Д.

ТЕОРЕМА 2: Сумма конечного или счётного множества счетных множеств также счетное множество.

Доказательство:

Составим таблицу: в 1-ю строку внесем с нумерацией элементы множества , во вторую - все элементы из , не вошедшие в .

И т.д.

,

, Перенумеруем элементы таблицы по

.......................................…, правилу, указанному стрелками. Тогда

, мощность будет равна

........................................., мощности счетного множества. Ч.Т.Д.

Пример: Множество целых чисел Z - счетно.

Действительно, ,

следовательно, по теореме 2 множество целых чисел Z - счетно.

- 10 -

ТЕОРЕМА 3. Пусть , множество элементов, определяемых конечным числом индексов, каждый из которых независимо от других пробегает счетное множество значений . Тогда А - счётно.

Доказательство:

По индукции: - счётно (очевидно).

Пусть - счётно, при фиксированном последнем индексе также счётно, так как оно определяется (n-1)-м индексом и, по предположению, счетно. Если пробегает счетное множество значений, то А - счетно по теореме 2.

Пример: Множество рациональных чисел R - счетно.

Действительно записывается в виде , где т- целое число, а п- натуральное число. - счетно по теореме 3.

ТЕОРЕМА 4. Если к любому бесконечному множеству А прибавить конечное или счетное множество В новых элементов, то мощность множества А не изменится.

Доказательство:

Пусть . По теореме 1 выделим счетное множество М, так что . Тогда . Прибавим к обеим частям множество В: ~ ; ~ ~ Ч.Т.Д.

Упражнения:

1. Какова мощность множества попарно не пересекающихся открытых

интервалов на числовой прямой.

- 11 -

2. Доказать, что если > 0 такое, что для различных элементов х, у из А то А - конечно или счетно.

3. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции на

действительной оси не более чем счетно.

4. Доказать, что множество тогда и только тогда бесконечно, когда оно эквивалентно собственному подмножеству.

5. Доказать, что множество всех многоугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты, счетно.

6. Доказать, что множество попарно не пересекающихся букв Т на плоскости конечно или счетно.

7. Какова мощность множества всех алгебраических полиномов ( т.е.

полиномов с рациональными коэффициентами).

8. Какова мощность множества всех алгебраических чисел ( т.е. корней

алгебраических полиномов).

9*. Разложить множество натуральных чисел в счетную совокупность

попарно не пересекающихся счетных множеств.

5.